[zorropardo]

Si $$f:[0,1] \rightarrow{ \mathbb{R}} $$ es contrinua en el intervalo $$[0,1]$$ y $$f(0)=f(1)=\frac{1}{2}$$ entonces
$$f(x)=\frac{1}{2}, \forall x \in [0,1]$$

[Juan Pablo Sancho]

Toma \( f(x) = x \cdot (x-1) + \dfrac{1}{2}  \)

[Pie]

Otra:  \[ f(x) = \sin(\pi x) + \frac{1}{2} \] 

Saludos.

[zorropardo]

Muy bien gracias.

[Faramalla]

Toma \( f(x) = x \cdot (x-1) + \dfrac{1}{2}  \)

Pero si hacemos  $$x=\displaystyle\frac{1}{2}$$
No tendríamos $$f(x)=\displaystyle\frac{1}{4}\neq\displaystyle\frac{1}{2}$$?

[Juan Pablo Sancho]

Claro es un contraejemplo igual que la función que puso Pie, puse un polinomio de segundo grado que era lo más fácil para ver que no se cumple el enunciado, podría haber usado:
\( g(x) = -|x-\dfrac{1}{2}| + \dfrac{1}{2}  \)

[Faramalla]

Claro es un contraejemplo igual que la función que puso Pie, puse un polinomio de segundo grado que era lo más fácil para ver que no se cumple el enunciado.

Lo sospechaba
Gracias por tu confirmación  Juan Pablo.