Estoy tratando de entender el siguiente problema, quisiera alguna sugerencia.
3.- Un Experimento $$E$$ es una terna $$(x, \theta, f(X|\theta))$$, $$X$$ un vector aleatorio con pmf o pdf $$f(X|theta)$$ para algún parámetro $\theta$ en el espacio de parámetros $$\Theta$$. Un experimentador observa $X = x$, quiere hacer inferencia sobre $$\Theta$$, esta conclusión la denotamos $$E_v(E, x)$$.\\
(1) Principio de Verosimilitud (formal). Supongamos que tenemos dos experimentos $$E_1(X_1, \theta, f_1(X_1|\theta))$$ y $$E_2(X_2, \theta, f_2(X_2|\theta)$$, $$\theta$$ es el parámetro desconocido en ambos experimentos. Supongamos que $$x_1^{*}$$ y $$x_2^{*}$$ son muestras de $$E_1$$ y $$E_2$$ tal que $$L(\theta, x_2^{*}) = CL(\theta|x_1^{*})$$, para todo $$\theta$$, $$C$$ una constante que no depende de $$\theta$$ puede depender de $$x_1^{*}$$ y $$x_2^{*}$$. Entonces $$E_v(E_1, x) = E_v(E_2, x)$$.\\
Sea $$E_1$$ el experimento que consiste en lanzar una moneda 20 veces y registrar el número de caras en los 20 lanzamientos y $$E_2$$ el experimento que consiste en lanzar una moneda hasta que la séptima cara ocurre y registrar el número de lanzamientos antes de que ocurra la séptima cara. Consideremos $$x_1 = 7$$ para el experimento $$E_1$$ y $$x_2 = 13$$ para el experimento $$E_2$$ Aplicar (1) y escribir las conclusiones para los dos experimentos.
Mi razonamiento...
Para $$E_1$$:
\[ L(\theta | x_1^{*}) = \binom{20}{7} \theta^7 (1-\theta)^{13} \]
Para $$E_2$$:
\[ L(\theta, x_2^{*}) = (1-\theta)^6 \theta \]
Ahora, veamos si podemos encontrar una constante $$C$$ tal que $$L(\theta, x_2^{*}) = C \cdot L(\theta | x_1^{*})$$:
\[ (1-\theta)^6 \theta = C \cdot \binom{20}{7} \theta^7 (1-\theta)^{13} \]
Simplificando la ecuación, obtenemos:
\[ C = \frac{(1-\theta)^6 \theta}{\binom{20}{7} \theta^7 (1-\theta)^{13}} \]
¿Cuál sería el próximo paso? ¿Alguna sugerencia?
