Determinar los valores de \( t \) para los cuales la integral
\(
\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{x^2}e^{-x^2-t^2/x^2}dx
\)
converge uniformemente.
Aquí no se que hacer con el \( \frac{1}{x^2} \), porque sabemos que esa integral no converge en ningún intervalo donde el extremo inferior sea cero.
Observa que \( x^{-2}e^{-x^2-t^2/x^2}=e^{-(x^2+t^2/x^2+2\ln x)} \), y que si \( t\neq 0 \)
\( \displaystyle{
\lim_{x\to 0^+}\left(x^2+\frac{t^2}{x^2}+2\ln x\right)=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{t^2}{x^2}+2\ln x\right)=\lim_{x\to 0^+}\frac{t^2+2x^2\ln x}{x^2}=\lim_{x\to 0^+}\frac{t^2}{x^2}=\infty
} \)
Es decir que \( \lim_{x\to 0^+}x^{-2}e^{-x^2-t^2/x^2}=0 \), por tanto la integral impropia converge si \( t\neq 0 \), y para \( c>1 \) tenemos que
\( \displaystyle{
\left| \int_0^\infty x^{-2}e^{-x^2-t^2/x^2}dx-\int_0^c x^{-2}e^{-x^2-t^2/x^2}dx \right|\leqslant \int_{c}^{\infty }e^{-x}\,d x\leqslant \frac1{c}
} \)
Por tanto la integral converge uniformemente en \( \mathbb{R}\setminus \{0\} \).