[petras]

En un triángulo \( ABC \), \( sen A − cos B = cos C \) Determinar B. (R:\( 90^o \) )

[thadeu]

$$SenA=cosB+cosC=2sen(\displaystyle\frac{B+C}{2})cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
$$senA=2sen(\displaystyle\frac{A}{2})cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
$$2sen(A/2)cos(A/2)=2sen(\displaystyle\frac{A}{2})cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
$$cos(A/2)=cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
Sin pérdida de generealidad podemos suponer que $$B-C>0$$ debido a que $$cost$$ es una función par.
Y ya que $$cost$$ es inyectiva en $$(0,\pi)$$
Se sigue que
$$\displaystyle\frac{A}{2}=\displaystyle\frac{B-C}{2}$$

Por tanto $$2B=\pi$$ y la conclusión es inmediata

[ani_pascual]

Hola:

$$SenA=cosB+cosC=2\textcolor{red}{sen(\displaystyle\frac{B+C}{2})}cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
$$senA=2sen(\displaystyle\frac{A}{2})cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
$$2sen(A/2)cos(A/2)=2sen(\displaystyle\frac{A}{2})cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
$$cos(A/2)=cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
Sin pérdida de generealidad podemos suponer que $$B-C>0$$ debido a que $$cost$$ es una función par.
Y ya que $$cost$$ es inyectiva en $$(0,\pi)$$
Se sigue que
$$\displaystyle\frac{A}{2}=\displaystyle\frac{B-C}{2}$$

Por tanto $$2B=\pi$$ y la conclusión es inmediata

Me parece que hay una errata ¿no tendría que ser \( \sen A=\cos B+\cos C=2\cos\dfrac{B+C}{2}\cos\dfrac{B-C}{2} \)?
Así, tal y como dices, se tendría que \( B=C+A\Longrightarrow A+B+C=180^{\circ}\Longrightarrow A+A+C+C=180^{\circ}\Longleftrightarrow B=A+C=90^{\circ} \)
Por cierto, ¿podrías publicar o comentar algo acerca de la solución
de este ejercicio que planteaste?
Saludos

[thadeu]

Hola Ani_pascual
Tienes razón
Hay ese error pero de todas formas la solución anda.

[petras]

Hola:

$$SenA=cosB+cosC=2\textcolor{red}{sen(\displaystyle\frac{B+C}{2})}cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
$$senA=2sen(\displaystyle\frac{A}{2})cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
$$2sen(A/2)cos(A/2)=2sen(\displaystyle\frac{A}{2})cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
$$cos(A/2)=cos(\displaystyle\frac{B-C}{2})$$
Sin pérdida de generealidad podemos suponer que $$B-C>0$$ debido a que $$cost$$ es una función par.
Y ya que $$cost$$ es inyectiva en $$(0,\pi)$$
Se sigue que
$$\displaystyle\frac{A}{2}=\displaystyle\frac{B-C}{2}$$

Por tanto $$2B=\pi$$ y la conclusión es inmediata

Me parece que hay una errata ¿no tendría que ser \( \sen A=\cos B+\cos C=2\cos\dfrac{B+C}{2}\cos\dfrac{B-C}{2} \)?
Así, tal y como dices, se tendría que \( B=C+A\Longrightarrow A+B+C=180^{\circ}\Longrightarrow A+A+C+C=180^{\circ}\Longleftrightarrow B=A+C=90^{\circ} \)
Por cierto, ¿podrías publicar o comentar algo acerca de la solución
de este ejercicio que planteaste?
Saludos

\( senA=cosB+cosC=2cos(\frac{B+C}{2})(cos\frac{B−C}{2})(I)\\
sen2A =2senAcosA \implies senA = 2sen(\frac{A}{2})cos(\frac{A}{2})(II)\\
(I)=(II): cos(\frac{A}{2}) = cos(\frac{B-C}{2}) \implies\frac{A}{2} = \frac{B-C}{2} \therefore B=C+A \\
 \)


¿Por qué no pude igualar \( cos (\frac{A}{2}) = cos (\frac{B+C}{2}) \) ?

[Luis Fuentes]

Hola

\( senA=cosB+cosC=2cos(\frac{B+C}{2})(cos\frac{B−C}{2})(I)\\
sen2A =2senAcosA \implies senA = 2sen(\frac{A}{2})cos(\frac{A}{2})(II)\\
(I)=(II): cos(\frac{A}{2}) = cos(\frac{B-C}{2}) \implies\frac{A}{2} = \frac{B-C}{2} \therefore B=C+A \\
 \)

¿Por qué no pude igualar \( cos (\frac{A}{2}) = cos (\frac{B+C}{2}) \) ?

Es que por ser un triángulo: \( A+B+C=180^o \) y:

\( \dfrac{B+C}{2}=90^o-\dfrac{A}{2}\quad \Rightarrow{}\quad cos \dfrac{B+C}{2}=cos\left(90^o-\dfrac{A}{2}\right)=sin\dfrac{A}{2} \)

Saludos.

[petras]

Hola

\( senA=cosB+cosC=2cos(\frac{B+C}{2})(cos\frac{B−C}{2})(I)\\
sen2A =2senAcosA \implies senA = 2sen(\frac{A}{2})cos(\frac{A}{2})(II)\\
(I)=(II): cos(\frac{A}{2}) = cos(\frac{B-C}{2}) \implies\frac{A}{2} = \frac{B-C}{2} \therefore B=C+A \\
 \)

¿Por qué no pude igualar \( cos (\frac{A}{2}) = cos (\frac{B+C}{2}) \) ?

Es que por ser un triángulo: \( A+B+C=180^o \) y:

\( \dfrac{B+C}{2}=90^o-\dfrac{A}{2}\quad \Rightarrow{}\quad cos \dfrac{B+C}{2}=cos\left(90^o-\dfrac{A}{2}\right)=sin\dfrac{A}{2} \)

Saludos.

Agradeido

Saludos