[petras]

En un triángulo isósceles \( ABC \), donde \( AB=AC \), el ángulo\(  A \) mide \( 40 \) grados,\(  BP  \) se traza con \( P \) en \( AC  \) y el El ángulo \( ABP  \) mide \( 20  \) grados. Se toma un punto \( M  \)en \( BP \) de modo que \( AP=PM \), sea "\( x \)" el ángulo \( PMC \). La suma de los dígitos de "\[ x \]" son? (R:\( 8 \))

Yo hice el dibujo

[Luis Fuentes]

Hola

En un triángulo isósceles \( ABC \), donde \( AB=AC \), el ángulo\(  A \) mide \( 40 \) grados,\(  BP  \) se traza con \( P \) en \( AC  \) y el El ángulo \( ABP  \) mide \( 20  \) grados. Se toma un punto \( M  \)en \( BP \) de modo que \( AP=PM \), sea "\( x \)" el ángulo \( PMC \). La suma de los dígitos de "\[ x \]" son? (R:\( 8 \))

Yo hice el dibujo

Se me ocurre una solución bruta. En el triángulo \( APB \) por el teorema de los senos:

\( \dfrac{AB}{sin(120)}=\dfrac{AP}{sin(20)} \)

Y en el triángulo \( BMC \) también por el teorema de los senos:

\( \dfrac{AC-AP}{sin(x)}=\dfrac{MP}{sin(120-x)}\quad \Leftrightarrow{}\quad \dfrac{AB-AP}{sin(x)}=\dfrac{AP}{sin(120-x)} \)

De ambas ecuaciones se tiene:

\( \dfrac{sin(120)-sin(20)}{sin(20)sin(x)}=\dfrac{1}{sin(120-x)} \)

Haciendo cuentas de ahí se puede llegar a:

\( tan(x)=\dfrac{\sqrt{3}sin(50)}{1-sin(50)} \)

y de ahí resulta que \( x=80^o \).

Supongo que hay una forma más elegante de resolverlo. Una vez conocida la solución es fácil de ver que el otro punto de corte del segmento \( MC \) con la circunferencia es justo el mismo que el de la circunferencia con la bisectriz del ángulo \( A \); si pudiésemos justificar eso de antemano ya estaría.

Saludos.

[petras]

Hola

En un triángulo isósceles \( ABC \), donde \( AB=AC \), el ángulo\(  A \) mide \( 40 \) grados,\(  BP  \) se traza con \( P \) en \( AC  \) y el El ángulo \( ABP  \) mide \( 20  \) grados. Se toma un punto \( M  \)en \( BP \) de modo que \( AP=PM \), sea "\( x \)" el ángulo \( PMC \). La suma de los dígitos de "\[ x \]" son? (R:\( 8 \))

Yo hice el dibujo

Se me ocurre una solución bruta. En el triángulo \( APB \) por el teorema de los senos:

\( \dfrac{AB}{sin(120)}=\dfrac{AP}{sin(20)} \)

Y en el triángulo \( BMC \) también por el teorema de los senos:

\( \dfrac{AC-AP}{sin(x)}=\dfrac{MP}{sin(120-x)}\quad \Leftrightarrow{}\quad \dfrac{AB-AP}{sin(x)}=\dfrac{AP}{sin(120-x)} \)

De ambas ecuaciones se tiene:

\( \dfrac{sin(120)-sin(20)}{sin(20)sin(x)}=\dfrac{1}{sin(120-x)} \)

Haciendo cuentas de ahí se puede llegar a:

\( tan(x)=\dfrac{\sqrt{3}sin(50)}{1-sin(50)} \)

y de ahí resulta que \( x=80^o \).

Supongo que hay una forma más elegante de resolverlo. Una vez conocida la solución es fácil de ver que el otro punto de corte del segmento \( MC \) con la circunferencia es justo el mismo que el de la circunferencia con la bisectriz del ángulo \( A \); si pudiésemos justificar eso de antemano ya estaría.

Saludos.

Agradecido
Saludos

Aquí hay una solución por geometría.

Trazando el circuncentro O del triángulo AMB tendremos::

\( \angle ABP_(insc) =20^o \implies \angle AOM = 40^o \\
\angle APB = 180^o -40^0 -20^o =120^o \therefore \angle MPC = 60^o \\
\triangle APM: \angle PMA \cong \angle PAM = \frac{180^-120^o}{2} = 30^o \implies \angle BAM_{(insc.)} = 10^o\\
\therefore \angle BOM =20 ^o \implies \angle BOA=60^o \implies \triangle BOA _{(equil.)}\\
\triangle OAC_{(isosc)}:OA=AB={\color{red}A}C \therefore \angle PCO = 40^o \\
\therefore \angle PCM = x = 180^o - 60^0 -40^o - 80^o \therefore \boxed{x= 80^o \implies 8+0 = 8}  \)

[Luis Fuentes]

Hola

Trazando el circuncentro O del triángulo AMB tendremos::

\( \angle ABP_(insc) =20^o \implies \angle AOM = 40^o \\
\angle APB = 180^o -40^0 -20^o =120^o \therefore \angle MPC = 60^o \\
\triangle APM: \angle PMA \cong \angle PAM = \frac{180^-120^o}{2} = 30^o \implies \angle BAM_{(insc.)} = 10^o\\
\therefore \angle BOM =20 ^o \implies \angle BOA=60^o \implies \triangle BOA _{(equil.)}\\
\triangle OAC_{(isosc)}:OA=AB=OC \therefore \angle PCO = 40^o \\
\therefore \angle PCM = x = 180^o - 60^0 -40^o - 80^o \therefore \boxed{x= 80^o \implies 8+0 = 8}  \)

Hay algo que no me queda claro. ¿Exactamente en qué paso y por qué se justifica que los puntos \( OMC \) están sobre la misma recta?. Es decir, ¿por qué ha de ocurrir que la recta \( CM \) coincida con la recta \( OM \)?.

Saludos.

[petras]

Hola

Trazando el circuncentro O del triángulo AMB tendremos::

\( \angle ABP_(insc) =20^o \implies \angle AOM = 40^o \\
\angle APB = 180^o -40^0 -20^o =120^o \therefore \angle MPC = 60^o \\
\triangle APM: \angle PMA \cong \angle PAM = \frac{180^-120^o}{2} = 30^o \implies \angle BAM_{(insc.)} = 10^o\\
\therefore \angle BOM =20 ^o \implies \angle BOA=60^o \implies \triangle BOA _{(equil.)}\\
\triangle OAC_{(isosc)}:OA=AB=OC \therefore \angle PCO = 40^o \\
\therefore \angle PCM = x = 180^o - 60^0 -40^o - 80^o \therefore \boxed{x= 80^o \implies 8+0 = 8}  \)

Hay algo que no me queda claro. ¿Exactamente en qué paso y por qué se justifica que los puntos \( OMC \) están sobre la misma recta?. Es decir, ¿por qué ha de ocurrir que la recta \( CM \) coincida con la recta \( OM \)?.

Saludos.

Ya me lo imaginaba

\( \angle MOP = 20^o \implies OM  \) es bisectriz interna\( \triangle BOP \)

\( \angle OPM \cong \angle BPC = 60^o \implies   \) PC es bisectriz externa \( \triangle BOP \)

\( \angle OBP = 80^o\\ \angle PBC = 50^o \implies   \)BC es bisectriz externa \( \triangle BOP \)

C es el encuentro de las bisectrices externas.

Por lo tanto MC están en la misma línea.

[ani_pascual]

Hola:

Aquí hay una solución por geometría.

Trazando el circuncentro O del triángulo AMB tendremos::

\( \angle ABP_(insc) =20^o \implies \angle AOM = 40^o \\
\angle APB = 180^o -40^0 -20^o =120^o \therefore \angle MPC = 60^o \\
\triangle APM: \angle PMA \cong \angle PAM = \frac{180^-120^o}{2} = 30^o \implies \angle BAM_{(insc.)} = 10^o\\
\therefore \angle BOM =20 ^o \implies \angle BOA=60^o \implies \triangle BOA _{(equil.)}\\
\triangle OAC_{(isosc)}:OA=AB=\textcolor{red}{OC}\therefore \angle PCO = 40^o \\
\therefore \angle PCM = x = 180^o - 60^0 -40^o - 80^o \therefore \boxed{x= 80^o \implies 8+0 = 8}  \)

Me parece que donde ponde \( OC \) debería poner \( AC \) 
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Ya me lo imaginaba

\( \angle MOP = 20^o \implies OM  \) es bisectriz interna\( \triangle BOP \)

\( \angle OPM \cong \angle BPC = 60^o \implies   \) PC es bisectriz externa \( \triangle BOP \)

\( \angle OBP = 80^o\\ \angle PBC = 50^o \implies   \)BC es bisectriz externa \( \triangle BOP \)

C es el encuentro de las bisectrices externas.

Por lo tanto MC están en la misma línea.

Ahora si  ; pero ese paso es clave.

Saludos.

[petras]

Hola:

Aquí hay una solución por geometría.

Trazando el circuncentro O del triángulo AMB tendremos::

\( \angle ABP_(insc) =20^o \implies \angle AOM = 40^o \\
\angle APB = 180^o -40^0 -20^o =120^o \therefore \angle MPC = 60^o \\
\triangle APM: \angle PMA \cong \angle PAM = \frac{180^-120^o}{2} = 30^o \implies \angle BAM_{(insc.)} = 10^o\\
\therefore \angle BOM =20 ^o \implies \angle BOA=60^o \implies \triangle BOA _{(equil.)}\\
\triangle OAC_{(isosc)}:OA=AB=\textcolor{red}{OC}\therefore \angle PCO = 40^o \\
\therefore \angle PCM = x = 180^o - 60^0 -40^o - 80^o \therefore \boxed{x= 80^o \implies 8+0 = 8}  \)

Me parece que donde ponde \( OC \) debería poner \( AC \) 
Saludos

Gracias por la alerta
... ajustado

Saludos