[sedeort]

Hola. Últimamente estoy liado con este tema y quería compartirlo aquí.
Supondremos que en esta cavidad tridimensional de radio R el potencial V es nulo dentro e infinito fuera.
Habría que resolver la ecuación de Schöringer para obtener las funciones de onda y las energías de los estados cuantizados de la partícula de masa m.

Una primera cuestión para opinar. Qué creéis?
En el centro de la cavidad, y para el estado fundamental, la densidad de probabilidad de encontrar la partícula será máxima?
(Recordar que para la caja unidimensional, rectangular u ortoédrica sí que es el centro donde es más probable encontrar la partícula en su estado de mínima energía)

[sedeort]

Pues respondo yo mismo.
Después de equivocarme en mis cálculos un par de veces la cosa se ha decantado por que, en el estado fundamental n=1, en el centro de la cavidad es nula la densidad de probabilidad. Y que se hace máxima a r=R/2; para volver a anularse en r=R.
A alguno no podría extrañarle este resultado porque es semejante a lo que ocurre en el átomo de hidrógeno. Pero hay que recordar que en el átomo existe un potencial eléctrico radial que se hace infinito en el centro y que por eso ahí se anula la probabilidad de encontrar el electrón.
Pero no deja de ser curioso que en el caso nuestro (V=0) sea totalmente improbable encontrar la partícula en un sitio tan "accesible" como es el centro de la cavidad.

*Edito. Esto no es exactamente así.
Una cosa es referirse al radio más probable en donde encontrar la partícula y que sería r=R/2 y otra la posición en la que la densidad de probabilidad es máxima y que es cuando r=0. Por así decirlo un diferencial de volumen "puntual" lleva las de perder frente a uno "superficial" aunque el "puntual" sea más "potente".

Seguiré estudiando la cavidad esférica porque para estados con n>1 creo que aparecen otros números cuánticos (l,m) semejantes al átomo. Por lo que podrían aparecer una especie de orbitales que quizás no presenten perfecta simetría esférica.
Iré informando. Y si me es posible pondré las ecuaciones de las funciones.