Pues respondo yo mismo.
Después de equivocarme en mis cálculos un par de veces la cosa se ha decantado por que, en el estado fundamental n=1, en el centro de la cavidad es nula la densidad de probabilidad. Y que se hace máxima a r=R/2; para volver a anularse en r=R.
A alguno no podría extrañarle este resultado porque es semejante a lo que ocurre en el átomo de hidrógeno. Pero hay que recordar que en el átomo existe un potencial eléctrico radial que se hace infinito en el centro y que por eso ahí se anula la probabilidad de encontrar el electrón.
Pero no deja de ser curioso que en el caso nuestro (V=0) sea totalmente improbable encontrar la partícula en un sitio tan "accesible" como es el centro de la cavidad.

*Edito. Esto no es exactamente así.
Una cosa es referirse al radio más probable en donde encontrar la partícula y que sería r=R/2 y otra la posición en la que la densidad de probabilidad es máxima y que es cuando r=0. Por así decirlo un diferencial de volumen "puntual" lleva las de perder frente a uno "superficial" aunque el "puntual" sea más "potente".

Seguiré estudiando la cavidad esférica porque para estados con n>1 creo que aparecen otros números cuánticos (l,m) semejantes al átomo. Por lo que podrían aparecer una especie de orbitales que quizás no presenten perfecta simetría esférica.
Iré informando. Y si me es posible pondré las ecuaciones de las funciones.

Gracias, JCB.
Acabo de terminar de resolverlo.

Los campos eléctricos son fáciles de encontrarlos por Gauss. Aparecen dos discontinuidades, en r=a y en r=b.

Para evitar las discontinuidades en el potencial debemos ir obteniendo sus expresiones (por integración de los E) de forma secuencial. Primero en la región exterior (fijando V=0 en el infinito). Después en el cascarón, que tiene un valor constante (igual al de su superficie exterior).
Y por último en la región interior, calculando la cte de integración sabiendo que V(a)=V(b).

Me queda:
\( V = 0 \) en el infinito (potencial de referencia)

Para \( r>b \)
\( E = k(Q+q)/r^2 \)
\( V = k(Q+q)/r \)

Para \( a<r<b \)
\( E = 0 \)
\( V = k(Q+q)/b \)

Para \( r<a \)
\( E = kQ/r^2 \)
\( V = kQ/r - k(Q+q)(b-a)/(ab) \)

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Mensaje corregido desde la administración.

Las velocidades de la onda transversal y longitudinal coinciden cuando \( L>>L_0 \) (o sea, cuando la longitud del muelle natural es despreciable frente al estirado).

Richard, creo que las expresiones se pueden modificar para que aparezca la tensión F del muelle con ayuda de la relación \( F=k(L-L_0) \).

Y como dije antes soy de la opinión de que las ondas transversales sólo son posibles para el muelle estirado. Mientras que las longitudinales se pueden producir siempre; para muelle estirado, comprimido o natural.

Creo que la expresión no debe ser la misma porque si el muelle estuviera en su longitud natural, por ejemplo, no se podrían generar ondas transversales y la velocidad de propagación no estaría definida (o sería 0?).

En cambio, en un muelle con longitud natural sí se pueden generar ondas longitudinales con una velocidad de propagación bien definida por la expresión anterior.

Creo.

Gracias, Robin.
Has hecho bien es desvincularte del trabajo "sucio" del cálculo diferencial y centrarte en relacionar los del muelle y la barra.

Es curioso que la solución del muelle depende de la longitud del muelle (sin reparar en su longitud natural, o si está estirado o comprimido).

Richard, quizás tú estés calculando la velocidad del MAS de un extremo libre del muelle.
Pero no es el caso. Se supone que los dos extremos del muelle están fijos y se pide la expresión de la velocidad de propagación de una onda longitudinal en ese muelle.

Creo que el procedimiento es obtener una expresión para este problema muy semejante a la ecuación de ondas, que es:
 
\( \displaystyle\frac{\delta^2\Phi}{\delta x^2}=\displaystyle\frac{1}{v^2}\displaystyle\frac{\delta^2\Phi}{\delta t^2} \)

para después, comparando las dos expresiones, identificar la \( v \), que es lo que te piden.
Osea, creo que habría que estudiar por dinámica cómo se afecta en el espacio y en el tiempo un \( d\Phi \) del muelle.

Las ecuaciones diferenciales de la dilatación es un juego de bebés comparado con lo que pasa a nivel atómico. Date por satisfecho si saber manejar el modelo simple, jeje.
Al final nada es lo que predicen los modelos si nos ponemos exigentes.
Pero, bueno, los modelos "sencillos" que medio se cumplen han servido para que nuestra calidad de vida. Que no es poco, jeje.

Por ejemplo, mi solución está más cerca de la tuya (que se supone la óptima) que la de Richard y JCB. Eso significa que mi planteamiento es también mejor, aunque sea más estrambótico? Habría que corroborarlo en muchos otros casos.
No creo que se llegue nunca a un modelo matemático que explique perfectamente un comportamiento físico, por simple que nos parezca. Y ya no digo una teoría unificada del todo como están intentando ....

Sin entrar en Látex, que es un poco tedioso para mí y mi móvil.
El cuadrado del radio, en la "superficie", sale fuera de logaritmo neperiano como un 2 multiplicando, quedando un radio "lineal". Dicho de una manera informal, jeje

Hago un somero resumen de las 3 resoluciones aparecidas del problema inicial de este tema; para que quede para la posteridad, jeje.

robinlambada  ∆h = + 0'15966 cm
La más exacta; obtenida integrando las ecuaciones diferenciales de las definiciones de los coeficientes y utilizando dilatación lineal del perímetro del tubo.
\( h=h_0e^{(\alpha_{vHg}-2\alpha_{lv})∆T} \)


Richard R Richard  ∆h = + 0'15801 cm
\( h=h_0\dfrac{1+\alpha_{vHg}\Delta T}{(1+\alpha_{lv}\Delta T)^2} \)
que proviene de la ecuación con incrementos (integrando con V=cte) y considerando dilatación lineal en perímetro de tubo.

sedeort  ∆h = + 0'15840 cm
\( h=h_0(1+(\alpha_{vHg}-2\alpha_{lv})∆T) \)
Obtenida a partir de las ecuaciones con incrementos (no las diferenciales) y considerando dilatación superficial de la sección del tubo (\( \alpha_s\approx2\alpha_l \)).