[Julio_fmat]

Una homotecia con centro en \( (a,b) \) y razón \( k \), transforma \( A=(3,4) \) en \( A'=(1,8) \). Encuentre las coordenadas del centro \( (a,b) \) y el valor de \( k. \)

[feriva]

Una homotecia con centro en \( (a,b) \) y razón \( k \), transforma \( A=(3,4) \) en \( A'=(1,8) \). Encuentre las coordenadas del centro \( (a,b) \) y el valor de \( k. \)

Corregido

Spoiler

Estaba mal, lo que va en la primera columna es el vector, no las coordenadas del centro

La matriz de una homotecia en el espacio afín (de las dimensiones del problema) tiene esta forma \( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
\alpha & k & 0\\
\beta & 0 & k
\end{array}\right)
  \).

La homotecia transforma el centro en sí mismo

\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
\alpha & k & 0\\
\beta & 0 & k
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
a\\
b
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1\\
a\\
b
\end{array}\right)
  \)

Es decir

\( \alpha+ak=a
  \)

\( \beta+bk=b
  \)

El vector \( (\alpha,\beta)
  \) es tal que \( \lambda((3,4)-(1,8))=\lambda(2,-4)
  \); entonces

\( 2\lambda+ak=a
  \)

\( -4\lambda+bk=b
  \)

\( k=\dfrac{a-2\lambda}{a}
  \)

\( k=\dfrac{b+4\lambda}{b}
  \)

De ahí igualando \( b=-2a
  \), y el centro es \( (a,b)=a(1,-2)
  \).

Entonces la matriz quedaría así

\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
\alpha & k & 0\\
\beta & 0 & k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
a(1-k) & k & 0\\
a(2-2k) & 0 & k
\end{array}\right)
  \)

y la transformación es

\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
a(1-k) & k & 0\\
-2a(1-k) & 0 & k
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
3\\
4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
8
\end{array}\right)
  \)

Pero no sé si puedes usar la matriz de una homotecia.

[cerrar]

Saludos.

[geómetracat]

Tiene infinitas soluciones, como se puede ver intuitivamente: si tomas como centro cualquier punto sobre la línea \[ AA' \] siempre hay un \[ k \] tal que la homotecia de razón \[ k \] lleva \[ A \] en \[ A' \].

Si \[ C=(a,b) \], la condición del problema es que \[ k\vec{CA}=\vec{CA'} \]. Algebraicamente esto te da dos ecuaciones con tres incógnitas \[ a,b,k \]. Por tanto, lo más que puedes hacer es obtener dos de ellas en función de la otra.

[Julio_fmat]

Una homotecia con centro en \( (a,b) \) y razón \( k \), transforma \( A=(3,4) \) en \( A'=(1,8) \). Encuentre las coordenadas del centro \( (a,b) \) y el valor de \( k. \)

Corregido

Spoiler

Estaba mal, lo que va en la primera columna es el vector, no las coordenadas del centro

La matriz de una homotecia en el espacio afín (de las dimensiones del problema) tiene esta forma \( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
\alpha & k & 0\\
\beta & 0 & k
\end{array}\right)
  \).

La homotecia transforma el centro en sí mismo

\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
\alpha & k & 0\\
\beta & 0 & k
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
a\\
b
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1\\
a\\
b
\end{array}\right)
  \)

Es decir

\( \alpha+ak=a
  \)

\( \beta+bk=b
  \)

El vector \( (\alpha,\beta)
  \) es tal que \( \lambda((3,4)-(1,8))=\lambda(2,-4)
  \); entonces

\( 2\lambda+ak=a
  \)

\( -4\lambda+bk=b
  \)

\( k=\dfrac{a-2\lambda}{a}
  \)

\( k=\dfrac{b+4\lambda}{b}
  \)

De ahí igualando \( b=-2a
  \), y el centro es \( (a,b)=a(1,-2)
  \).

Entonces la matriz quedaría así

\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
\alpha & k & 0\\
\beta & 0 & k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
a(1-k) & k & 0\\
a(2-2k) & 0 & k
\end{array}\right)
  \)

y la transformación es

\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
a(1-k) & k & 0\\
-2a(1-k) & 0 & k
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
3\\
4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
8
\end{array}\right)
  \)

Pero no sé si puedes usar la matriz de una homotecia.

[cerrar]

Saludos.

Muchas Gracias feriva y geómetracat por la ayuda. 

Me ha quedado claro.

Saludos.