[Rania]

Hola a todos,  ¿podrían ayudarme con este ejercicio? estoy un poco perdida

1. Sea $$ l \in{\mathbb{R}} $$.  Demostrar que si una sucesión de números reales  $$\{a_n\}$$ tiene la propiedad que toda subsucesión tiene una subsucesión que converge a $$l$$ entonces $$\{a_n\}$$ converge a $$l$$.

Gracias desde ya

[Luis Fuentes]

Hola

1. Sea $$ l \in{\mathbb{R}} $$.  Demostrar que si una sucesión de números reales  $$\{a_n\}$$ tiene la propiedad que toda subsucesión tiene una subsucesión que converge a $$l$$ entonces $$\{a_n\}$$ converge a $$l$$.

Por reducción al absurdo. Si no converge a \( l \), existe un \( \epsilon>0 \) tal que para todo \( n \) existe un \( m_n>n \) tal que \( |a_{m_n}-l|>\epsilon \).

Puedes suponer \( m_n>m_{n-1} \) (¿por qué?).

Concluye que \( \{a_{m_n}\} \) sería una subsucesión que NO tiene ninguna subsucesión que converge a \( l \).

Saludos

[Fernando Revilla]

1. Sea $$ l \in{\mathbb{R}} $$.  Demostrar que si una sucesión de números reales  $$\{a_n\}$$ tiene la propiedad que toda subsucesión tiene una subsucesión que converge a $$l$$ entonces $$\{a_n\}$$ converge a $$l$$.

Procede por reducción al absurdo. Si \( a_n\not\to l \) entonces,

    Existe \( \epsilon >0 \) tal que \( \forall N\in \mathbb{N} \) existe \( n \ge N \) con \( \left |a_n -l\right |>\epsilon \).

Esto te permitirá construir una subsucesión sin subsucesión que converge a \( l \).

P.D. Luis "desenfundó" antes.

[Rania]

1. Sea $$ l \in{\mathbb{R}} $$.  Demostrar que si una sucesión de números reales  $$\{a_n\}$$ tiene la propiedad que toda subsucesión tiene una subsucesión que converge a $$l$$ entonces $$\{a_n\}$$ converge a $$l$$.

Procede por reducción al absurdo. Si \( a_n\not\to l \) entonces,

    Existe \( \epsilon >0 \) tal que \( \forall N\in \mathbb{N} \) existe \( n \ge N \) con \( \left |a_n -l\right |>\epsilon \).

Esto te permitirá construir una subsucesión sin subsucesión que converge a \( l \).

P.D. Luis "desenfundó" antes.

Gracias por Luis Fuentes y Fernando Revilla por sus respuestas. No veo claro cómo construir la subsucesión que converge a l.

[ani_pascual]

Hola:

Por reducción al absurdo. Si no converge a \( l \), existe un \( \epsilon>0 \) tal que para todo \( n \) existe un \( m_n>n \) tal que \( |a_{m_n}-l|>\epsilon \).

Puedes suponer \( m_n>m_{n-1} \) (¿por qué?).

Concluye que \( \{a_{m_n}\} \) sería una subsucesión que NO tiene ninguna subsucesión que converge a \( l \).

Dado \( n\in\mathbb{N} \) existe \( p>n \) tal que \( |a_p-l|>\varepsilon \). Como \( m_{n-1}\in\mathbb{N} \) existe \( q>m_{n-1} \) tal que \( |a_q-l|>\varepsilon \). Así, podemos tomar \( m_n=\max\{p,q\} \) y se tiene que \( |a_{m_n}-l|>\varepsilon \) y además \( m_n>m_{n-1} \) ¿Es correcto?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Dado \( n\in\mathbb{N} \) existe \( p>n \) tal que \( |a_p-l|>\varepsilon \). Como \( m_{n-1}\in\mathbb{N} \) existe \( q>m_{n-1} \) tal que \( |a_q-l|>\varepsilon \). Así, podemos tomar \( m_n=\max\{p,q\} \) y se tiene que \( |a_{m_n}-l|>\varepsilon \) y además \( m_n>m_{n-1} \) ¿Es correcto?

Está bien, pero sobra la \( p \). Es decir, inductivamente:

Dado \( 1\in \mathbb{N} \) existe \( m_1>1 \) tal que \( |a_{m_1}-l|>\varepsilon \).
Dado \( m_1\in \mathbb{N} \) existe \( m_2>m_1 \) tal que \( |a_{m_2}-l|>\varepsilon \).
Dado \( m_2\in \mathbb{N} \) existe \( m_3>m_2 \) tal que \( |a_{m_3}-l|>\varepsilon \).

En general:

Dado \( m_n\in \mathbb{N} \) existe \( m_{n+1}>m_n \) tal que \( |a_{m_{n+1}}-l|>\varepsilon \).

Gracias por Luis Fuentes y Fernando Revilla por sus respuestas. No veo claro cómo construir la subsucesión que converge a l.

Es que no hay que construir una subsucesión que converge a \( l \). Al contrario, lo que construimos con el método que acabo de detallar arriba es una subsucesión \( \{a_{m_n}\} \) con la propiedad de que cualquier subsucesión de la misma NO converge a \( l \), porque de hecho todos los términos de esta subsucesión (y por tanto de cualquier posible subsucesión de ella) cumplen que \( |a_{m_n}-l|>\varepsilon \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Está bien, pero sobra la \( p \). Es decir, inductivamente:

Dado \( 1\in \mathbb{N} \) existe \( m_1>1 \) tal que \( |a_{m_1}-l|>\varepsilon \).
Dado \( m_1\in \mathbb{N} \) existe \( m_2>m_1 \) tal que \( |a_{m_2}-l|>\varepsilon \).
Dado \( m_2\in \mathbb{N} \) existe \( m_3>m_2 \) tal que \( |a_{m_3}-l|>\varepsilon \).

En general:

Dado \( m_n\in \mathbb{N} \) existe \( m_{n+1}>m_n \) tal que \( |a_{m_{n+1}}-l|>\varepsilon \).

¡Es cierto! Gracias
Saludos

[Rania]

Ahora me quedó más claro. Seguiré practicando. Muchas gracias ani pascual y Luis Fuentes por su ayuda!