[Albersan]

Hola,

Quisiera saber como calcular las derivadas parciales de la función diferenciable \( H(x,y,z)=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}G(x',y,z)dx'+\displaystyle\int_{y_0}^{y}F(x_0,y',z)dy' \), donde F y G también son diferenciables.

Gracias.

[ani_pascual]

Hola,

Quisiera saber como calcular las derivadas parciales de la función diferenciable \( H(x,y,z)=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}G(x',y,z)dx'+\displaystyle\int_{y_0}^{y}F(x_0,y',z)dy' \), donde F y G también son diferenciables.

Gracias.

Hola:
Si no me euivoco, creo que puedes hacerlo con la regla de la integral de Leibniz:
\( F(\lambda)=\displaystyle\int_{\alpha (\lambda)}^{\beta(\lambda)}G(t,\lambda)\,dt\Longrightarrow  \dfrac{dF}{d\lambda}=\displaystyle\int_{\alpha (\lambda)}^{\beta(\lambda)}\dfrac{\partial}{\partial \lambda}G(t,\lambda)\,dt +G(\beta(\lambda),\lambda)\dfrac{d\beta}{d\lambda}-G(\alpha(\lambda),\lambda)\dfrac{d\alpha}{d\lambda} \) y aplicarlo para hallar las tres derivadas parciales
\( \dfrac{\partial H}{\partial x}.\dfrac{\partial H}{\partial y},\dfrac{\partial H}{\partial z} \)
Por ejemlo, \( \dfrac{\partial H}{\partial x}=-G(x,y,z) \) etc

[Albersan]

Gracias ani_pascual:

La integral de Leibniz trabaja con un parámetro, en este caso \( \lambda \), \( G(t,\lambda) \), en cambio por ejemplo \( \displaystyle\int_{x_0}^{x}G(x',y,z)dx' \), tiene dos: \( y \)  y  \( z \). ¿La integral de Leibniz igual se puede usar si se consideran que estos dos parámetros son independientes?

[Masacroso]

Gracias ani_pascual:

La integral de Leibniz trabaja con un parámetro, en este caso \( \lambda \), \( G(t,\lambda) \), en cambio por ejemplo \( \displaystyle\int_{x_0}^{x}G(x',y,z)dx' \), tiene dos: \( y \)  y  \( z \). ¿La integral de Leibniz igual se puede usar si se consideran que estos dos parámetros son independientes?

Aquí da igual que los parámetros sean funciones independientes o no ya que la derivada parcial no es en relación a parámetro alguno sino a un argumento. Ahí \( G \) es una función con tres argumentos, lo que significa que el dominio de \( G \) es de la forma \( A\times B\times C \). Cuando derivas una función parcialmente derivas respecto a uno de sus argumentos, aunque luego esos argumentos estén compuestos por funciones más o menos complejas que puedan ser dependientes o independientes entre sí. Es por eso que para las derivadas parciales yo prefiero la notación \( \partial _j G \) en vez de la notación \( \frac{\partial}{\partial x}G \), ya que ahí \( x \) es un símbolo que en principio no nos dice respecto a qué argumento se está derivando, aunque se suele asumir que \( x \) es el primer argumento de la función. Sin embargo con \( \partial _j G \) se muestra que lo que se deriva es respecto al \( j \)-ésimo argumento.

No sé si esto te haya aclarado algo, espero que sí.

[Albersan]

Si, gracias Masacroso, pues he leído varias veces tu mensaje y tienes razón. La verdad es que me apresuré mucho en contestar y no razoné bien. Pues voy a tratar de resolver el problema, aunque tengo una duda conceptual.


\( H(x,y,z)=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}G(x',y,z)dx'+\displaystyle\int_{y_0}^{y}F(x_0,y',z)dy' \).


La integral queda \( \partial _2 H=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}\partial _2 G(x',y,z)dx'+F(x_0,y,z) \).

En la primera integral de \( H \), la regla de Leibniz establece que la derivada con respecto a \( y \), de los límites de integración son cero.
En la segunda integral de \( H \), tengo algunas dudas de que de \( \partial _2 F=0 \). De hecho lo es, pero no sé por qué. (Si alguien me pudiera aclarar la duda estaré agradecido)


\( \partial _3 H=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}\partial _3G(x',y,z)dx'+\displaystyle\int_{y_0}^{y}\partial _3F(x_0,y',z)dy' \)

\( \partial _1 H=-G(x,y,z) \)


Gracias.


 

[ani_pascual]

\( H(x,y,z)=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}G(x',y,z)dx'+\displaystyle\int_{y_0}^{y}F(x_0,y',z)dy' \).


La integral queda \( \partial _2 H=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}\partial _2 G(x',y,z)dx'+F(x_0,y,z) \).

En la primera integral de \( H \), la regla de Leibniz establece que la derivada con respecto a \( y \), de los límites de integración son cero.
En la segunda integral de \( H \), tengo algunas dudas de que de \( \partial _2 F=0 \). De hecho lo es, pero no sé por qué. (Si alguien me pudiera aclarar la duda estaré agradecido)

Me parece que lo tienes bien, pero ya te confirmarán los entendidos; de hecho lo mismo ocurre al hallar \( \partial_1H \) en la que en la primera integral es \( \partial_1G=0 \) ya que \( x' \) es la variable "muda" de integración; lo mismo ocurre al hallar \( \partial_2H \) en la segunda integral donde es \( \partial_2F=0 \) pues \( y' \) es la variable "muda" de integración. Se podría interpretar quizás como si \( F \) no dependiera de \( y \) en esa segunda integral  al hallar \( \partial_2H \) o como si \( G \) no dependiera de \( x \) en la primera integral al hallar \( \partial_1H \)

\( \partial _3 H=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}\partial _3G(x',y,z)dx'+\displaystyle\int_{y_0}^{y}\partial _3F(x_0,y',z)dy' \)
\( \partial _1 H=-G(x,y,z) \)

Con la notación que no le gusta a Masacroso  quedaría así
\( \dfrac{\partial H}{\partial x}=-G(x.y.z) \)
\( \dfrac{\partial H}{\partial y}=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}\dfrac{\partial}{\partial y}G(x',y,z)\,dx'+F(x_0,y,z) \)
\( \dfrac{\partial H}{\partial z}=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}\dfrac{\partial}{\partial z}G(x',y,z)\,dx'+\displaystyle\int_{y_0}^{y}\dfrac{\partial}{\partial z}F(x_0,y',z)\,dy' \)

[Masacroso]

Si, gracias Masacroso, pues he leído varias veces tu mensaje y tienes razón. La verdad es que me apresuré mucho en contestar y no razoné bien. Pues voy a tratar de resolver el problema, aunque tengo una duda conceptual.


\( H(x,y,z)=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}G(x',y,z)dx'+\displaystyle\int_{y_0}^{y}F(x_0,y',z)dy' \).


La integral queda \( \partial _2 H=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}\partial _2 G(x',y,z)dx'+F(x_0,y,z) \).

Correcto.

En la primera integral de \( H \), la regla de Leibniz establece que la derivada con respecto a \( y \), de los límites de integración son cero.
En la segunda integral de \( H \), tengo algunas dudas de que de \( \partial _2 F=0 \). De hecho lo es, pero no sé por qué. (Si alguien me pudiera aclarar la duda estaré agradecido)

En principio \( \partial _2 F \) es cualquier cosa, es decir, no tiene por qué valer cero. Lo que ocurre en verdad es que

\( \displaystyle{
\partial _2 \int_{y_0}^{y}F(x_0,y',z)dy'=F(x_0,y,z)
} \)

debido al teorema fundamental del cálculo. Es decir, nunca se llega a necesitar calcular \( \partial _2 F \) al calcular \( \partial _2 H \) ya que \( \int_{y_0}^{y}F(x_0,y',z)dy' \) no es función de un argumento (o variable, o coordenada) \( y' \) sino de \( y \).

\( \partial _3 H=-\displaystyle\int_{x_0}^{x}\partial _3G(x',y,z)dx'+\displaystyle\int_{y_0}^{y}\partial _3F(x_0,y',z)dy' \)

\( \partial _1 H=-G(x,y,z) \)


Gracias.

Correcto.

[Albersan]

Hola,

gracias Masacroso, gracias ani_pascual.