[Juan Hernández]

Sea \( f:[0,1]\times [0,1]\rightarrow \mathbb{R} \) una función continua. Demuestre que \( f \) se puede aproximar uniformemente por funciones de la forma
\( f_1(x)g_1(y)+\cdots +f_n(x)g_n(y) \), donde \( f_i,g_i:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \) son funciones continuas.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( f:[0,1]\times [0,1]\rightarrow \mathbb{R} \) una función continua. Demuestre que \( f \) se puede aproximar uniformemente por funciones de la forma
\( f_1(x)g_1(y)+\cdots +f_n(x)g_n(y) \), donde \( f_i,g_i:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \) son funciones continuas.

¿Puedes usar el Teorema de Stone-Weierstrass?

Saludos.

[Juan Hernández]

Si, si se puede usar.
De hecho el ejercicio está en el capítulo donde se exponen los teoremas de aproximación, entre ellos el de Stone-Weierstrass.
¿Habría que construir una familia de funciones que cumpla las hipótesis de ese teorema?

[Luis Fuentes]

Hola

Si, si se puede usar.
De hecho el ejercicio está en el capítulo donde se exponen los teoremas de aproximación, entre ellos el de Stone-Weierstrass.
¿Habría que construir una familia de funciones que cumpla las hipótesis de ese teorema?

Básicamente tienes que comprobar que la familia de funciones:

\( f_1(x)g_1(y)+\cdots +f_n(x)g_n(y) \)

con \( f_i,g_i \) continuas y \( n\in \Bbb N \) cumplen las hipótesis.

Saludos.