[Pérez_Álvaro]

Hola, tengo problemas para resolver estos ejercicios, si me pudieran ayudar les estaría muy agradecidos.
(a) Encuentra los \( {a_n} \) tales que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n} \) sea convergente pero \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a^2_n}=\infty \)
(b) ¿Se puede encontrar una sucesión \( {a_n} \) de números positivos que cumpla (a)?

Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

Hola, tengo problemas para resolver estos ejercicios, si me puedieran ayudar les estaría muy agradecidos.
(a) Encuentra los \( {a_n} \) tales que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n} \) sea convergente pero \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a^2_n}=\infty \)
(b) Se puede encontrar una sucesión \( {a_n} \) de números positivos que cumpla (a)?

 (a) Toma \( a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \)

 (b) Nota que si \( 0\leq x\leq 1 \) entonces \( x^2\leq x \).

Saludos.

[Pérez_Álvaro]

Hola, muchas gracias!

\(  \)Entonces eso quiere decir que \( {a_n} \) no se cumple si \( 0\leq{a_n}\leq{1} \), y que si \( {a_n}<1 \) tampoco porque si no no sería convergente verdad?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, muchas gracias!

\(  \)Entonces eso quiere decir que \( {a_n} \) no se cumple si \( 0\leq{a_n}\leq{1} \), y que si \( {a_n}<1 \) tampoco porque si no no sería convergente verdad?

No estoy seguro de si has entendido; no sé que quieres decir con que "no se cumple". ¿El qué?.

Lo que he querido decir es que la respuesta al apartado (b) es que NO es posible encontrar una sucesión de números positivos a_n tal que  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n} \) es convergente pero \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n^2} \) no.

Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n} \) es convergente entonces \( a_n\to 0 \) y  para \( n\geq n_0  \) se tiene que \( |a_n|<1 \). Por ser de términos positivos \( 0\leq a_n<1 \) y \( a_n^2<a_n \). Por tanto:

\( \displaystyle\sum_{n=n_0}^\infty{}a_n^2<\displaystyle\sum_{n=n_0}^\infty{}a_n<\infty \)

es decir, la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n^2} \)  converge.

Saludos.