[marai]

Sea p primo y n>2, puede ser simple un grupo no abeliano de orden \( p^n \)

[Jorge klan]

Hola:

Yo pienso que no, ya que el primer teorema de Sylow nos asegura que existe un subgrupo \( H \) de \( G \) de orden \( p^{n-1} \) y el cual es normal en \( G \) y el cual obviamente  no puede ser \( G \) ni \( \{0\} \) por su orden, es decir, \( G \) no es simple sea abeliano o no.

Saludos.

[marai]

no sera \( p^n \) el orden del subgrupo H de G

me puedes decir un contraejemplo

[Jorge klan]

Hola:

El primer teorema de sylow dice:

Si \( G \) es un grupo de orden finito \( p^{n}m \) donde \( p \) y \( m \) son primos relativos, entonces, existen subgrupos \( H_{i} \) de orden \( p^{i} \) para cada \( i\in{}\{1,\ldots,n\} \) y además \( H_{i-1}\triangleleft{}H_{i} \).

Si tomas el caso particular en que \( m=1 \) se obtiene lo que te dije anteriormente.

Saludos.

[espejo]

y me puedes decir un contraejemplo

[Jorge klan]

NO sé a que se refieren con contraejemplo, ya que mi respuesta es que no hay grupos simples de orden \( p^{n} \) con \( n>2 \). Por ejemplo el grupo diedrico de 8 elementos, es un grupo de orden \( 2^{3} \) y el cual tiene como subgrupo normal no trivial al grupo de las rotaciones(grupo cíclico generado por la rotación en 90 grados y el cual consta de \( 2^{2} \) elementos ). Se vé claramente que  \( <R> \)(así denoto el subgrupo) es normal en \( D_{8} \) ya que tiene índice 2.

[espejo]

a eso me referia muchas gracias