Hola

No tengo la solución al problema, pero me parecio interesante hacer unas observaciones, que talvez ya hayas deducido.

\( 1. \) Como \( P\leq{}Z(G) \), entonces \( P \) es un subgrupo normal de \( G \), por tanto, \( P \) es el único p-subgrupo de Sylow de \( G \).

\( 2. \) Supongo que \( G \) es de orden \( p^{n}m \) con \( MCD(m,p)=1 \) y \( m\neq 1 \), ya que en el caso que  \( m= 1 \) tendríamos que \( G=P=Z(G) \), por tanto abeliano y no nos quedaría otra opción más que la que mencionó J. H. Santiago. , es decir, \( N=\langle e \rangle \).

\( 3. \) Si supongo que \( P \) es un subgrupo propio de \( Z(G) \) (el orden de \( Z(G) \) es del tipo \( p^{n}r \) con \( r\leq{}m \)) entonces, existe \( q\in \mathbb{N} \) (primo) tal que \( q \) divide al orden de \( Z(G) \) (más que nada a \( r \)), luego por teorema de Cauchy tenemos que existe un subgrupo \( Q \) de \( Z(G) \) tal que su orden es \( q \). Luego \( Q \) es un subgrupo normal de \( G \) y además \( P\cap{}Q=\langle e\rangle \).

Bueno eso fue algo en que pense, pero no llegue a nada concreto. espero te ayude a reflexionar un poco

Saludos

PD: ¿Haz pensado algo tu?, ya que podriamos complementar y completar el ejercicio.

Hola, hace tiempo que no entraba al portal.

De poco voy razonando. Supongamos que \( A_{5} \) tiene un subgrupo \( H \) de índice 4, es decir, un subgrupo de orden 15.

Sabemos que todo grupo de orden 15 es isomorfo a \( Z_{15} \), así tenemos que \( H \)  es cíclico, luego existe un elemento \( \sigma \) en \( A_{5} \) de orden 15 tal que \( \langle \sigma\rangle=H \). Entonces, la única posibilidad es que \( \sigma \) sea de la forma


Lo cual es imposible escribirlo como ciclos disjuntos. Bueno, eso es lo que pienso, espero una opinión tuya (aunque sea algo tarde).

Saludos       

Hola:

Creo que el_Manco tiene razón. yo soy nuevo en este foro y me parece muy interesante que personas me puedan ayudar a realizar ejercicios, pero es más satisfactorio cuando uno a pensado algo antes y se dá cuenta que hay personas que se toman la molestia de hacer una buena crítica de lo que hiciste o pensaste. Asi que amigo, mi consejo es que acostumbres a pensar algo antes(por lo menos una iniciativa) y despues te dirijas al portal, ah! y agradecer no cuesta nada.

Saludos.

1) Del isomorfismo obtienes que los grupos deben tener el mismo orden ¿cierto?. O sea


Si despejas te queda


2) Disculpa en no hacer enfasis en donde me tomaba los elementos, pero si escogí \( ab \) y \( cd \), entonces me refería que \( ab,cd\in{}HK \), o sea \( a,c\in{}H \) y \( b,d\in{}K \), por eso después digo que \( c^{-1}a=db^{-1}\in{}H\cap{}K=\{1\} \).

Nota que el orden de \( G \) es la multiplicación de los ordenes de \( H \) y \( K \), además sabes que \( HK\leq{}G \). En otras palabras, lo que probé es que el grupo \( HK \) tiene \( |H||K| \) elementos distintos, o sea tiene el mismo orden de \( G \), lo cual no queda otra opción que  \( HK=G \).

3) Piensa como en 1 y obtendrás que \( \left |{H\cap{K}}\right |=1 \).

Hola:

El primer teorema de sylow dice:

Si \( G \) es un grupo de orden finito \( p^{n}m \) donde \( p \) y \( m \) son primos relativos, entonces, existen subgrupos \( H_{i} \) de orden \( p^{i} \) para cada \( i\in{}\{1,\ldots,n\} \) y además \( H_{i-1}\triangleleft{}H_{i} \).

Si tomas el caso particular en que \( m=1 \) se obtiene lo que te dije anteriormente.

Saludos.

Hola:

Yo pienso que no, ya que el primer teorema de Sylow nos asegura que existe un subgrupo \( H \) de \( G \) de orden \( p^{n-1} \) y el cual es normal en \( G \) y el cual obviamente  no puede ser \( G \) ni \( \{0\} \) por su orden, es decir, \( G \) no es simple sea abeliano o no.

Saludos.

Hola amigo:

La famosa teoría de Sylow. \( G \) tiene orden \( pq \), primos distintos, entonces por tercer teorema de Sylow tenemos que la cantidad de \( p \)-subgrupos de Sylow es 1, ya que esta debe ser congruente a 1 (mód p) y la única opción es 1. Análogamente, tenemos que existe un único \( q \)-subgrupo de Sylow.

LLamaremos \( H \) al \( p \)-subgrupos de Sylow y \( K \) al \( q \)-subgrupos de Sylow.

1) Nótese que \( H\cap{}K=\{e\} \), ya que un elemento en la intersección implicaría que tiene orden un divisor de \( p \) y de \( q \) y no nos queda otra opción de que sea un elemento de orden 1(ojo, \( e \) denota el elemento identidad de \( G \)).

2) Nótese que para todo \( a\,\in\,H \), \( b\,\in\,K \), se tiene que \( aba^{-1}b^{-1}\,\in\,H\cap{}K \), ya que \( H \) y \( K \) son subgrupos normales de \( G \) por el hecho de ser los únicos \( p \) y \( q \) subgrupos de Sylow respectivamente. Así tenemos que

\( aba^{-1}b^{-1}=e \), esto es si y solo si \( ab=ba \). Lo cual nos dice que el producto interno \( HK \) es un grupo abeliano.

3) Por último notemos que, si \( ab=cd \) dos elementos en \( HK \). Entonces:

\( c^{-1}a=db^{-1}\,\in\,H\cap{}K \), luego \( a=c \) y \( b=d \), es decir, dos elementos son igueles si y solo si cada elemento de cada subgrupo es igual. Así tenemos que el orden de \( HK \) es \( pq \). Finalmente

\( HK\approx{}Z_{p}\times Z_{q}\approx{}Z_{pq}\approx{}G \).

Por ejemplo; el único grupo de orden \( 15=3\cdot{}5 \) es el grupo cícico \( Z_{15} \)


Saludos
 

Disculpa manco, tienes razón

Me refiero a \( G \)- espacio, en el sentido que, un grupo \( G \) actúa sobre un conjunto. Por ejemplo, el grupo simétrico \( S_{n} \) actúa en un conjunto de \( n \) letras, por permutación de ellas. En cuanto a \( L^{2}(X) \) es la representación natural de un grupo dada por la acción del grupo en el conjunto, o de otra forma

\( L^{2}(X)=\{f:X\longrightarrow{}\mathbb{C}\;|f\mbox{ es función}\} \)

eso. Saludos

Por favor amigos de foro podran ayudarme con un ejercicio de representaciones de grupos. Se los agradecería bastante.

Sabemos que si \( X\approx{} Y \) como \( G \) espacio entonces \( L^{2}(X)\approx{}L^{2}(Y) \) como representaciones. MI problema es, demostrar con un contraejemplo que el recíproco no es cierto.

Gracias