[Jabato]

Si aplicas el mismo criterio en el plano complejo haciendo que D sea todo el plano complejo ó un círculo de radio 2 centrado en el origen (da lo mismo) y P(c) sea verdadera para los puntos c en que la sucesión:

z0 = 0    zn+1 = (zn)² + c

no diverge, lo que obtienes es precisamente el fractal de Mandelbrot.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

En este caso se vé más claro lo relevante del comentario que hizo Teeteto en un mensaje anterior relativo a la dificultad que se plantea para poder perfilar con precisión cuales son los puntos de A, es decir los puntos en los que P es verdadera ya que los puntos del fractal se manifiestan como puntos en los que existe una gran incertidumbre, (teoricamente infinita) a la hora de decidir si P es verdadera ó falsa y no porque P no tome alguno de los dos valores (la sucesión debe diverger ó no, el tercero queda claramente excluido) sino porque para poder decidirlo es necesario realizar un número infinito de verificaciones.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Como ya hice notar en un mensaje anterior lo que me interesa más del asunto es lo novedoso de la definición de fractal como conjunto de puntos fractales, y claro está la definición de punto fractal que es la guinda del pastel, el resto no es más que una consecuencia de esa definición, y es concretamente sobre la definición de punto fractal sobre la que me gustaría conocer vuestras opiniones, y no sobre el ejemplo que puse que no fué más que eso, un ejemplo.

Saludos y gracias, Jabato.

[salvi.ecija]

Hola a todos. Sólo quería hacer algunas observaciones respecto a la construcción que indicas.

1ª) Es necesario que \( D \) sea convexo. De lo contrario, podría suceder que el punto intermedio \( z \) no perteneciese a \( D \) y por tanto, no estaría definido \( P(z) \).

2ª) El hecho de que las longitudes de los segmentos disminuya, no implica necesariamente que su límite sea 0. Por tanto habría que imponer esta restricción a la construcción (u otra equivalente que garantice la convergencia).

De no ser así, podría ocurrir lo siguiente:

Sea \( D=\mathbb{R},n=1, x=-2, y=2,P(s)=\left\{\begin{matrix} V & \mbox{ si }& s\leq 0\\F & \mbox{si}& s>0\end{matrix} \right. \) y \(  z_n=\frac{1}{n} \). Aquí las longitudes no tienden a 0.

[Jabato]

Correctas tus dos apreciaciones. Gracias Salvi.

No existe ningún inconveniente por mi parte en que D sea convexo (habitualmente D se hará corresponder con todo el espacio) y que z se elija en un entorno que garantice que la longitud del segmento tienda a anularse. Piensa que la elección de z es en principio aleatoria, aunque es cierto que debe garantizarse esa convergencia pero creo que eso no afecta en pricipio a los puntos fractales.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Creo que bastaría para garantizar que la longitud del segmento tienda a anularse que z divida a xy, en cada fase del proceso, en dos segmentos cuyas longitudes estén en una relación r:

k < r < 1/k                0 < k < 1

Eso garantiza que la longitud del segmento tienda a anularse pero no impide, creo, que algún punto fractal pueda ser detectado, ya que el límite existirá y deberá ser un punto de la frontera de A, como ya expliqué anteriormente, concretamente un punto en que el segmento inicial xy corte a la frontera de A.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 Con mis consideraciones anteriores a lo que me refería es que tu construcción puede expresarse de otra forma mas "compactada" (no me meto en si es mejor o peor).

 Dado un conjunto \( D\subset R^n \) y un subconjunto U de D, el conjunto de puntos fractales de U en D, son los puntos de acumulación de los conjuntos de puntos frontera en \( r\cap U \), para cada recta r de \( R^n \).

 Una buena forma de poner a prueba, la definición es construir los conjuntos U y D cuyo conjunto de puntos fractales sea un fractal conocido.

 Por otra parte para detectar si un conjunto A es un  fractal, habría que encontrar el conjunto U que lo "genera". No se si esto es muy manejable.

Saludos.

[Jabato]

Bueno, te diré dos cosas:

1ª Tienes razón en que la construcción puede expresarse de una forma más compacta aunque no en la forma que expresaste si te entendí bien.

Te recuerdo la nomenclatura que yo había utilizado, A es el conjunto de puntos que cumplen P y B su complemento en D. Puesto que P debe ser verdadera ó falsa en D resulta que:

\( A\cup{}B = D \)

Sean F(A) y F(B) las fronteras respectivas de A y B, dichas fronteras no son necesariamente iguales pero creo que puede demostrarse que su intersección es no vacía, y haciendo que:

\( F = F(A)\cap{}F(B) \)

si Ri es cada una de las rectas del espacio \( R^n \) entonces podemos afirmar que los puntos fractales contenidos en cada Ri vienen dados por la expresión:

\(  Pi = (F\cap{Ri})' \)

y el fractal sería la unión infinita de todos ellos.

(*) Aunque el conjunto de rectas de \( R^n \) se ha representado por Ri, dicho conjunto no es numerable, y la unión infinita tampoco lo será.

2ª Ya hice algunos "experimentos informáticos", dentro de mis limitadas posibilidades claro, con el fractal de Mandelbrot y algunos otros menos conocidos al respecto de verificar que la definición funciona y parece que si funciona, aunque este tipo de experimentos tienen muchas limitaciones, supongo que no hace falta explicar el porqué, trabajando con puntos de acumulación los ordenadores pierden el norte, pero si además se trata de procesos infinitamente iterados (fractales) entonces el infinito se asoma por todas las ventanas.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

Te recuerdo la nomenclatura que yo había utilizado, A es el conjunto de puntos que cumplen P y B su complemento en D. Puesto que P debe ser verdadera ó falsa en D resulta que:

\( A\cup{}B = D \)

Sean F(A) y F(B) las fronteras respectivas de A y B, dichas fronteras no son necesariamente iguales pero creo que puede demostrarse que su intersección es no vacía, y haciendo que:

El punto x de D es un punto frontera de A si para todo entorno V de x,\(  V\cap A\neq \emptyset  \) y \( V\cap D-A\neq \emptyset \), por tanto todo punto frontera de A lo es de su complementario y viceversa. Es decir las fronteras de A y B SI COINCIDEN.

\( F = F(A)\cap{}F(B) \)

si Ri es cada una de las rectas del espacio \( R^n \) entonces podemos afirmar que los puntos fractales contenidos en cada Ri vienen dados por la expresión:

\(  Pi = (F\cap{Ri})' \)

y el fractal sería la unión infinita de todos ellos.

Yo creo que esta NO es la construcción que hacías al principio. Aquí primero calculas la frontera de A en D, luego intersecas con rectas y calculas las aculmulaciones en esas rectas.

Sin embargo, antes trabajabas desde el principio sobre segmentos. Es decir calculabas la frontera de A en CADA RECTA y ahí las acumulaciones.

De todas formas creo que ambas cosas coinciden. Si tenemos un punto frontera de A intersecado con una recta, tambíen será un punto frontera de A en D. Recíprocamente dado un punto frontera de A en D siempre puede encontrarse una recta, de manera que el punto sea frontera de A intersecado con esa recta.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Pensándolo mejor ambas construcciones no coinciden, o al menos no lo veo tan claro. Efectivamente todos los puntos frontera de A coinciden con la unión de los puntos frontera de \( A\cap r \) cuando r recorre todas las rectas.

 Sin embargo puede ocurrir que halla puntos frontera de A en una recta r, que no sean puntos frontera de \( A\cap r \). Por tanto no es lo mismo coger todos los puntos frontera primero e intersecar con r (aparecen más) que primero intersecar con r y luego tomar los puntos frontera.

 Por ejemplo si tomamos el conjunto A de \( R^2 \) formado por unión de intervalos:

\(  (0,1)\times \{1/n\} \)

 La intersección de A con la recta r x=1 es vacía, luego si trabajamos en \( A\cap r  \) no aparecen puntos frontera. Por el contario si intersecamos la frontera de A con r si aparecen puntos.

 Otra cosa más.

 También tengo la sensación de que con esta definición, prácticamente cualquier conjunto podría ser un conjunto fractal de otro conveniéntemente escogido.

Saludos.