Muchas gracias, sqrmatrix; ahora después de cenar lo miro, que estaba escribiendo esto que voy a poner, lo que decía en la respuesta anterior a el_manco (acabo de ver tu entrada ahora mismo).
Claro que es interesante, muchas gracias, ya la he leído.
Más sobre la cuestión.
Realmente, la conjetura se cumpliría si se pudiera asegurar que todo “2n” que cumpla la conjetura (hasta donde llegue supuestamente) teniendo alguna pareja \( p_{1}+p_{2}
\) (siendo primos) o una pareja \( p_{1}+c
\); pero en este último caso el primo mayor habría de estar delante de “c” (a dos unidades); no valdría en general un primo gemelo siguiendo al primo.
La razón de que se cumpliría es casi obvia (pero la explico por si pasara algún lector no muy aficionado al tema):
Todo número par se puede formar como suma de dos primos o un primo y un compuesto, esto es trivial:
si el \( 2n \) se compone por “p”, pues se podrá expresar como suma de “p” y otro número, que será primo o compuesto.
Por tanto, como sabemos que se cumple para muchos pares seguidos, si suponemos que esto se cumple para todos los pares, y que hay un último que cumple la conjetura por última vez, sería falso; pues se cumpliría para el siguiente en contra de la hipótesis hecha, ya que, tendríamos \( p_{1}+(c+2)
\) siendo “c+2” ese primo siguiente (puedes probar a hacer un programa con esta idea, a ver si funciona también para todos los pares múltiplos de 3; yo no lo sé, lo pensé pero lo he ido dejando).
Hola el_manco, ésta era la cuestión que decía:
(
me había hipnotizado la tabla tontamente; ahora he visto que no tiene por qué funcionar como digo; si quieres no pierdas el tiempo en mirarlo)
Tomo los primos sin el 2 en \( \mathbb{Z}_{3}
\) y los coloco en tres columnas según su resto correspodiente y lo demás lo relleno con ceros:
\( \begin{array}{ccccc}
{\color{blue}p\equiv1(mod\:3)} & & {\color{blue}p\equiv2(mod\:3)} & & {\color{blue}p\equiv0(mod\:3)}\\
0 & & 0 & & 0\\
0 & & 0 & & 3\\
0 & & 5 & & 0\\
7 & \leftarrow\swarrow & 0 & & 0\\
0 & & 11 & & 0\\
13 & \leftarrow\swarrow & 0 & & 0\\
0 & & 17 & & 0\\
19 & \leftarrow\swarrow & 0 & & 0\\
0 & {\color{red}} & {\color{red}23} & & 0\\
{\color{red}0} & {\color{red}\leftarrow\swarrow} & 29 & & 0\\
31 & \leftarrow\swarrow & 0 & & 0\\
37 & & 0 & & 0\\
0 & & 41 & & 0\\
43 & \leftarrow\swarrow & 0 & & 0\\
0 & & {\color{red}47} & & 0\\
{\color{red}0} & {\color{red}\leftarrow\swarrow} & {\color{red}53} & & 0\\
{\color{red}0} & {\color{red}\leftarrow\swarrow} & 59 & & 0\\
61 & \leftarrow\swarrow & 0 & & 0\\
67 & & 0 & & 0\\
0 & & 71 & & 0\\
73 & \leftarrow\swarrow & 0 & & 0
\end{array}
\)
Todos, excepto el tres, quedan en solamente dos columnas, como es lógico.
Los primos gemelos (en cada pareja de ellos, digo) tienen siempre distinto resto, “resto 1” ó “resto 2”; por lo que se produce un cambio de columna; es decir, a partir de que aparecen unos gemelos, el gemelo mayor pasa a estar en la otra columna.
O dicho de otra forma, hasta que no entra en juego una pareja de primos gemelos, los números van apareciendo siempre en la misma columna.
Spoiler
En la tabla, las diagonales, marcadas con las flechas rojas, llevan o bien a un cero o a otro primo (que será siempre gemelo).
Por ejemplo, el 47 se corresponde con un cero en la otra columna, el siguiente, 53, como no es gemelo lleva a otro cero, y el 59, ya, lleva, con la flecha negra, al 61 en vez de a un cero.
Así, por ejemplo, 47,53, 59 van en la misma columna, pero el gemelo siguiente, 61, hace que los números cambien de columna.
Por tanto, si a partir de un supuesto “n” crítico dejara de haber primos gemelos, los primos aparecerían, desde ahí, ya para siempre en la misma columna. (dicho como “curiosidad”, si observamos las flechas hacia arriba -no dibujadas- en las diagonales y en los cambios de columna, encontramos primos a distancia de 4 unidades en vez de dos; 11 y 7; 17 y 13... etc.)
Pero no tengo nada más que el argumento de la tabla; no sé si se puede aceptar.
...
Supongamos entonces que llega ese “n” crítico; todos los primos desde ahí hasta el infinito serán ó así \( p\equiv1(mod\,3)
\) ó así \( p\equiv2(mod\,3)
\); de una u otra forma, pero nunca de las dos.
En consecuencia, la suma de tres primos cualesquiera mayores que “n” será siempre un múltiplo de 3, pues tendremos
\( S_{p}=3k+3
\) ó \( S_{p}=3k+6
\)
Tomando dos primos cualesquiera de ésos, sean \( p_{1},p_{2}
\), tendríamos:
\( (p_{1}+p_{1}+p_{2})-(p_{1}+p_{1}+p_{1})=p_{2}-p_{1}=\overset{\cdot}{3}
\)
\( (p_{1}+p_{1}+p_{2})-(p_{1}+p_{1}-p_{1})=p_{2}+p_{1}=\overset{\cdot}{3}
\)
Esto tampoco está bien\( (p_{2}+p_{1})+(p_{2}-p_{1})=2p_{2}=\overset{\cdot}{3}
\)
Pero entonces
\( p_{2}+p_{2}+p_{2}=2p_{2}+p_{2}\Rightarrow3|p_{2}
\)
Gracias.
Saludos.
