[cabeto14]

hola tengo una duda. como puedo hallar la ecuación de la recta tangente en un punto dado sobre una superficie si conozco allí su vector normal (gradiente)? según lo que he visto se procede a, dado una superficie F y un punto \(  P(x_0,y_0,z_0)  \) encontrar el gradiente en ese punto y luego hacer

\(  \nabla F \cdot <x-x_0,y-y_0,z-z_0> = 0  \) y luego se despeja y se encuentra la ecuación de la recta. no he podido comprender muy bien porque al hacer el producto punto entre estos dos vectores e igualando a cero se encuentra la ecuación de la recta? esto siempre se puede hacer así ?

en el libro hay un ejercicio que dice: determine las ecuaciones parametricas de la recta tangente en el punto (-2,2,4) a la curva de intersección de la superficie \(  z=2x^2-y^2  \) y el plano z=4 .

en la respuesta lo que hacen es hallar el gradiente de la superficie y el gradiente del plano y dicen que el producto cruz de estos dos vectores es un vector paralelo a la recta tangente y luego conociendo un punto sobre la recta y un vector paralelo hayan la ecuación de la recta. la respuesta les da : r(t)=<-2+4t,2-8t,4> . yo lo que hice fue igualar el plano y la superficie y obtuve \(  F= y^2 -2x+4=0  \) y procedi a aplicar el producto punto como lo describí arriba y me dio lo mismo. están bien ambos procedimientos ?

en resumen me gustaría que me explicaran (significado geométrico) como se encuentra la ecuación de la recta tangente conociendo el vector normal. muchas gracias.

[Capitan Trueno]

A ver, conviene pensar un poco antes de proceder. ¿Cuantas rectas tangentes a una superficie (supongamos por simplificar que la superficie es una variedad diferenciable) existen en un punto dado? Piensa que debe existir un plano tangente a la superficie en ese punto y que dicho plano contiene muchas rectas.

Salu2

[cabeto14]

mm ok muchas gracias por tu respuesta. entonces en si se pueden obtener ecuaciones que correspondan a varias rectas tangentes en ese mismo punto ?

[Capitan Trueno]

Pues claro, todas las que están contenidas en el plano tangente y pasan por el punto considerado, que son infinitas.

Una forma sencilla de obtenerlas es considerar el haz de rectas que pasan por el punto dado y son perpendiculares al vector normal, llamémosle a este último \( \vec n \).

El haz de rectas que pasan por el punto p y son perpendiculares a \( \vec n \) tiene por ecuación genérica la:

\( \vec r=\vec p+\lambda(\vec u\times\vec n) \)

siendo \( \vec u \) un vector arbitrario cualquiera no nulo y \( \lambda \) el parámetro que define la recta. Para cada valor posible de \( \vec u \) se obtiene la ecuación de una recta que satisface la condición pedida, ya que pasa por p y es perpendicular a \( \vec n \) o lo que es igual, es tangente a la superficie.

NOTA: Observa que todos los vectores \( \color{blue}\vec u \) paralelos entre sí conducen a la misma recta \( \color{blue}\vec r \).

Salu2.