Como muchos de los foreros estudio matemáticas en la universidad, en mi caso en la Universidad de Barcelona y si alguno de vosotros ha cursado alguna asignatura sobre
Geometría Proyectiva sabrá que la bibliografía es bastante limitada, por no decir prácticamente nula. Realmente es una rama de la geometría a la que no se le suele dar mucha importancia, pero no deja de ser algo interesante, por ello os presento este curso.
Los requisitos básicos para poder seguir esta asignatura son los instrumentos básicos del
Álgebra Lineal así como algunos pequeños condeptos de
Geometría Afín para algunos apartados del final del curso.
En cuanto a conocimientos de ÁLGEBRA LINEAL será imprescindible conocer bien la teoria sobre espacios y subespacios vectoriales, los teoremas de Steinitz y Grassman (Uniones, intersecciones y dimensión de subespacios).
¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA PROYECTIVA?La geometría puede dividirse en diversas ramas según puntos de vista. Es decir:
- Según sus fundamentos:En este caso podemos hablar de Geometría Euclídea y Geometría NO Euclídea
- Según el método que sigue: Aquí podemos distinguir entre la Geometría Analítica y la Geometría Sintética
- Según la materiaque trata: Es decir, cuáles son los objetos y los objetos que incluye. De aquí obtenemos:
- Geometría métrica: Estudia las nociones de objetos invariantes por desplazamientos.
- Geometría afín:Nociones invariantes por afinidades.
- Geometría proyectiva:Trata nociones invariantes por proyección y sección, que son las llamadas proyectividades.
TEMARIO DEL CURSO
- 1.1- Definición y primeros ejemplos
- 1.2- Variedades lineales. Incidencia de variedades lineales
- 1.3- Dependencia e independencia lineal de puntos. Variedades suplementarias
- 2.1- Definición y ejemplos
- 2.2- Matriz de una proyectividad
- 3- Coordenadas en el espacio proyectivo
- 3.1- Ecuaciones de una variedad lineal
- 3.2- Coordenada absoluta
- 3.3- Razon doble
- 3.4- La cuaterna armónica
- 4- Espacio proyectivo dual. El espacio de los hiperplanos
- 4.1- Variedades lineales en el dual
- 4.2- Hiperplanos independientes
- 4.3- Razón doble en el dual
- 4.4- Coordenadas y referencias en el espacio dual
- 4.5- Principio de dualidad
- 5.1- Puntos fijos
- 5.2- Hiperplanos fijos
- 6- Geomería afín y geometría proyectiva
- 6.1- Clausura proyectiva del espacio afín
- 6.2- Relación entre las coordenadas del espacio afín y en su clausura
- 6.3- Variedades lineales del afín sumergidas en el proyectivo
- 6.4- La razón simple
- 6.5- Afinidades y proyectividades
- 7- Hipersuperfícies cuádricas
- 7.1- Primeras definiciones
- 7.2- Expresión en coordenadas de una cuádrica
- 7.3- Intersección de rectas y cuáricas
- 7.4- Cambio de referencias
- 7.5- Hiperplano polar
- 7.6- Secciones y conjugación
- 7.7- Cuádricas degeneradas
- 7.8- Clasificación de cuádricas
- 7.8.1- Reducción de la ecuación de una cuádrica
- 7.8.2- Teorema completo de clasificación sobre los complejos
- 7.9- Teorema de clasificación de cuádricas reales
- 7.10- Estudio afín de cuádricas
- 7.11- Clasificación afín de cuádricas
- 7.11.1- Invariantes afines de las cuádricas
- 7.11.2- Ecuaciones reducidas para cuádricas afines
- 7.12- Elementos afines de las cuádricas
- 7.13- El teorema de Steiner
Como veis el temario es algo extenso pero que no os engañe, muchos de estos apartados son muy breves, aunque no por ello menos importantes. El tema 4 se centra en el espacio proyectivo dual, personalmente cuando me explicaron el Espacio Dual en Álgebra Lineal fue algo que me costó muchísimo, pero vereis que aquí es bastante diferente al utilizado entonces.
Consultas, comentarios y ejercicios del curso: Geometría Proyectiva
Dictado del curso: Geometría Proyectiva
Espero que os animeis a participar, pues nos esperan cosas muy interesantes!