[Gerard_bdn]

Como muchos de los foreros estudio matemáticas en la universidad, en mi caso en la Universidad de Barcelona y si alguno de vosotros ha cursado alguna asignatura sobre Geometría Proyectiva sabrá que la bibliografía es bastante limitada, por no decir prácticamente nula. Realmente es una rama de la geometría a la que no se le suele dar mucha importancia, pero no deja de ser algo interesante, por ello os presento este curso.

Los requisitos básicos para poder seguir esta asignatura son los instrumentos básicos del Álgebra Lineal así como algunos pequeños condeptos de Geometría Afín para algunos apartados del final del curso.
En cuanto a conocimientos de ÁLGEBRA LINEAL será imprescindible conocer bien la teoria sobre espacios y subespacios vectoriales, los teoremas de Steinitz y Grassman (Uniones, intersecciones y dimensión  de subespacios).

¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA PROYECTIVA?

La geometría puede dividirse en diversas ramas según puntos de vista. Es decir:

• Según sus fundamentos:En este caso podemos hablar de Geometría Euclídea y Geometría NO Euclídea
• Según el método que sigue: Aquí podemos distinguir entre la Geometría Analítica y la Geometría Sintética
• Según la materiaque trata: Es decir, cuáles son los objetos y los objetos que incluye. De aquí obtenemos:
  • Geometría métrica: Estudia las nociones de objetos invariantes por desplazamientos.
  • Geometría afín:Nociones invariantes por afinidades.
  • Geometría proyectiva:Trata nociones invariantes por proyección y sección, que son las llamadas proyectividades.
  
  
  
  
  TEMARIO DEL CURSO

  • 1- Espacio proyectivo

  • 1.1- Definición y primeros ejemplos
  • 1.2- Variedades lineales. Incidencia de variedades lineales
  • 1.3- Dependencia e independencia lineal de puntos. Variedades suplementarias

  • 2- Proyectividades

  • 2.1- Definición y ejemplos
  • 2.2- Matriz de una proyectividad

  • 3- Coordenadas en el espacio proyectivo

  • 3.1- Ecuaciones de una variedad lineal
  • 3.2- Coordenada absoluta
  • 3.3- Razon doble
  • 3.4- La cuaterna armónica

  • 4- Espacio proyectivo dual. El espacio de los hiperplanos

  • 4.1- Variedades lineales en el dual
  • 4.2- Hiperplanos independientes
  • 4.3- Razón doble en el dual
  • 4.4- Coordenadas y referencias en el espacio dual
  • 4.5- Principio de dualidad

  • 5- Homografías

  • 5.1- Puntos fijos
  • 5.2- Hiperplanos fijos

  • 6- Geomería afín y geometría proyectiva

  • 6.1- Clausura proyectiva del espacio afín
  • 6.2- Relación entre las coordenadas del espacio afín y en su clausura
  • 6.3- Variedades lineales del afín sumergidas en el proyectivo
  • 6.4- La razón simple
  • 6.5- Afinidades y proyectividades

  • 7- Hipersuperfícies cuádricas

  • 7.1- Primeras definiciones
  • 7.2- Expresión en coordenadas de una cuádrica
  • 7.3- Intersección de rectas y cuáricas
  • 7.4- Cambio de referencias
  • 7.5- Hiperplano polar
  • 7.6- Secciones y conjugación
  • 7.7- Cuádricas degeneradas
  • 7.8- Clasificación de cuádricas
  • 7.8.1- Reducción de la ecuación de una cuádrica
  • 7.8.2- Teorema completo de clasificación sobre los complejos
  • 7.9- Teorema de clasificación de cuádricas reales
  • 7.10- Estudio afín de cuádricas
  • 7.11- Clasificación afín de cuádricas
  • 7.11.1- Invariantes afines de las cuádricas
  • 7.11.2- Ecuaciones reducidas para cuádricas afines
  • 7.12- Elementos afines de las cuádricas
  • 7.13- El teorema de Steiner

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  Como veis el temario es algo extenso pero que no os engañe, muchos de estos apartados son muy breves, aunque no por ello menos importantes. El tema 4 se centra en el espacio proyectivo dual, personalmente cuando me explicaron el Espacio Dual  en Álgebra Lineal fue algo que me costó muchísimo, pero vereis que aquí es bastante diferente al utilizado entonces.
  
  Consultas, comentarios y ejercicios del curso: Geometría Proyectiva
  
  Dictado del curso: Geometría Proyectiva
  
  Espero que os animeis a participar, pues nos esperan cosas muy interesantes!
  
  
  Participantes del curso

  • argentinator
  • *Rafa*

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[argentinator]

Me inscribo!

[*Rafa*]

Oh,pero qué ven mis ojos. Yo también me apunto como alumno, curiosamente este año me he sobrecargado un pelín con demasiadas asignaturas en mi curso, y la asignatura de geometría proyectiva la he tenido que dejar para Septiembre. De modo que desde el mismísimo día 27 de este mes estaré a pie del cañon.

Así que apoyo totalmente la idea, además el foro dispone de la herramienta Geogebra, que creo nos puede venir muy bien.

Saludos.

[Gerard_bdn]

Bienvenidos a ambos.

Rafa, yo también la tengo para septiembre, por eso decidí montar este curso, así que nos irá muy bien tu ayuda.
Espero que el temario se ajuste al de tu asignatura y en caso que faltaran cosas siempre pueden añadirse.

Un saludo y bienvenidos.

[*Rafa*]

Hola Gerard,

Pues te cuento: yo estoy dispuesto a ayudar en lo que haga falta; tengo apuntes y enunciados de ejercicios (no resueltos). El temario que nosotros damos es el siguiente:

BLOQUE TEMATICO: Espacios  proyectivos y proyectividades
 Tema 1 Elementos de geometría  afín y proyectiva. Espacios afines y proyectivos. Coordenadas homogéneas. Determinación de subespacios por sus ecuaciones. El espacio afín dentro del proyectivo. Principio de dualidad 
 Tema 2 Proyectividades, involuciones y afinidades. Proyectividades entre espacios proyectivos. El teorema fundamental de la geometría proyectiva. Proyectividades entre rectas de un plano. Involuciones. El teorema de Fano. Cuaterna armónica.
Transformaciones entre haces de rectas 
 Tema 3 Teoremas de configuración. Homologías, homotecias y traslaciones. El teorema de Pappus. El teorema de Desargues 

BLOQUE TEMATICO: Cuádricas
 Tema 4 Cuádricas en el proyectivo. Generalidades. Polaridad inducida por una cuádrica. Razón doble de cuatro puntos sobre una cónica. Teoremas de Steiner, Pascal y Brianchon. Clasificación proyectiva de las cuádricas 
 Tema 5 Cuádricas en el afín. Posición relativa de una cuádrica y un hiperplano. Extensión proyectiva de una cuádrica afín.
Clasificación afín de las cuádricas 
 Tema 6 Proyectividades entre cónicas. Haces. El teorema de Desargues- Sturm. Haces de cuádricas 

He mirado el tuyo por encima y veo que se asemeja bastante.

Pues lo dicho, dame hasta este Viernes que termine los dos exámenes que me quedan y a partir de ahí ayudo en lo que haga falta.

Saludos.

PD: ando algo despistado, pero creo que este mensaje está bien puesto aqui, ¿no?

[argentinator]

Vas bien Rafa.

Acá van las cuestiones organizativas.

Después están las secciones de Dictado para la teoría, y de Comentarios para aclarar dudas, o comentar cuestiones de la teoría, o hacer ejercicios.

Yo la verdad es que no conozco la teoría del tema, pero no creo que haya inconvenientes.
La práctica claro que tampoco la conozco... pero me la imagino, así que me animo, creo que nos va a ir bien.

Saludos

[Gerard_bdn]

El temario es muy similar, aunque por lo que veo hay ciertas diferencias.

En mi caso trabajamos bastante el teorema de Grassmann y las dimensiones de subespacios antes de empezar con las coordenadas.
Por otro lado espero que en la parte de proyectividades tengas más material que yo, pues la teoria que nos dan sobre el tema es escasa y en el examen suelen poner 2 problemas sobre el tema.

La verdad es que donde más ayuda necesitaré es en problemas donde requieran aplicar Steiner, ya que eso no lo entendí.

Tengo la recuperación en septiembre, son 8 horas de examen pero en la parte de problemas podemos llevar todo el material que uno quiera, así que espero reunir muchos ejercicios sobre los temas del examen y que todos podamos aprovechar bien el curso.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Yo me ofrezo como ayudante. Así que Gerard_bdn tu mandas si necestias alguna ayuda tanto en la teoría como en los ejercicios.

Saludos.

[Gerard_bdn]

Muchas gracias el_manco, en el apartado de teoría no hace falta, tengo bastante material, el problema es en cuanto a la corrección de ejercicios.

Un saludo:)

[EnRlquE]

Hola.

 Como mencioné en el hilo en que se proponía este curso, nunca he llevado uno ni se el tema, pero me interesaría aprender y ver de qué se trata, así que me apunto como alumno del curso.

Saludos.