[nktclau]

Hola AMIGOS!    espero se encuentren todos muy bien, necesito por favor de su valioso tiempo, en el siguiente ejercicio.
No he usado antes el tema de tabla de restos, y si bien me ha costado bastante, "encaré" esta demostración usando este tema, y me gustaría saber si lo hecho es correcto, dejaré todo en detalle, para que sea expeditivo de analizar.

Sea \( a\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( (a^3+21:20)=2 \) probar que \( 40|a(a-1)(a^2+1) \)

Idea:

Como \( 40=2^3\cdot 5 \) si puedo probar que
                         \( 2^3|a \wedge 5|a  \) como \( (2^3:5)=1\Longrightarrow{2^3\cdot 5|a} \) (1)
o bien probar que
                         \( 2^3|a-1 \wedge 5|a-1  \) como \( (2^3:5)=1\Longrightarrow{2^3\cdot 5|a-1} \) (2)
o bien probar que
                         \( 2^3|a^2+1 \wedge 5|a^2+1  \) como \( (2^3:5)=1\Longrightarrow{2^3\cdot 5|a^2+1} \) (3)

Supongamos que llego a (1), es decir,

  \( 2^3|a \wedge 5|a  \) como \( (2^3:5)=1\Longrightarrow{2^3\cdot 5|a}\Leftrightarrow{40|a}\Longrightarrow{40|a\cdot(a-1)\cdot (a^2+1)} \)

Hasta aquí la idea

DEMOSTRACIÓN

Por hipótesis \( (a^3+21:20)=2\Longrightarrow{2|a^3+21} \wedge 2|20 \). Si \( 2|a^3+ 21\Longleftrightarrow{r_2(a^3+21)=0} \)

Con este dato de hipótesis analizo los posibles restos \( r_2(a) \)

\( \begin{matrix}{r_2(a)}&{0}&{1}\\{r_2(a^2)}&{0}&{1}\\{r_2(a^3)}&{0}&{1}\end{matrix} \)

\( r_2(a^3+21)=r_2[r_2(a^3)+r_2(21)]=r_2(1+1)=0\Longrightarrow{r_2(a)=1} \) por lo que este dato me dice que \( a \) es un número impar.

Si consideraba o suponía que \( r_2(a)=0 \) entonces llego a un absurdo pues contradigo la hipótesis.

Con este procedimiento ya se que \( a \) es un número impar y por lo tanto \( a-1 \) es un número par

Veamos si \( 2^3|a-1 \) y \( 5|a-1 \)

\( \begin{matrix}{r_8(a)}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}&{6}&{7}\\{r_8(a-1)}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}&{6}\end{matrix} \) Como \( a \) es impar \( 8\not | a \) pues todo multiplo de \( 8 \) es un número par, luego no considero el caso que \( r_8(a)=0 \)

Vemos que \( 2^3|(a-1) \) si \( r_8(a)=1 \)


\( \begin{matrix}{r_5(a)}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}\\{r_5(a-1)}&{4}&{0}&{1}&{2}&{3}\end{matrix} \) Vemos que \( 5|(a-1) \) si \( r_5(a)=1 \)

Por lo tanto podemos  concluir que \( 2^3|a-1 \) y \( 5|a-1 \) y \( (8:5)=1\Longrightarrow{2^3 \cdot 5|a-1}\Leftrightarrow{40|a-1} \)

Por la Propiedad: Siendo \( a,b \in{\mathbb{Z}} \) \( a|b\Longrightarrow{a|b\cdot c} \forall{c}\in{\mathbb{Z}} \)

Si \( 40|a-1\Longrightarrow{40|a(a-1)(a^2+1)} \) cqd

Gracias! 

[feriva]

Sea \( a\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( (a^3+21:20)=2 \) probar que \( 40|a(a-1)(a^2+1) \)

Hola, nktaclau.

Una pregunta sólo por enterarme yo: esto, \( (a^3+21:20)=2 \), ¿quiere decir que el mcd es 2?

Gracias, saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola AMIGOS!    espero se encuentren todos muy bien, necesito por favor de su valioso tiempo, en el siguiente ejercicio.
No he usado antes el tema de tabla de restos, y si bien me ha costado bastante, "encaré" esta demostración usando este tema, y me gustaría saber si lo hecho es correcto, dejaré todo en detalle, para que sea expeditivo de analizar.

Sea \( a\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( (a^3+21:20)=2 \) probar que \( 40|a(a-1)(a^2+1) \)

Idea:

Como \( 40=2^3\cdot 5 \) si puedo probar que
                         \( 2^3|a \wedge 5|a  \) como \( (2^3:5)=1\Longrightarrow{2^3\cdot 5|a} \) (1)
o bien probar que
                         \( 2^3|a-1 \wedge 5|a-1  \) como \( (2^3:5)=1\Longrightarrow{2^3\cdot 5|a-1} \) (2)
o bien probar que
                         \( 2^3|a^2+1 \wedge 5|a^2+1  \) como \( (2^3:5)=1\Longrightarrow{2^3\cdot 5|a^2+1} \) (3)

Si puedes probar eso, efectivamente tienes el resultado. Pero no necesitas tanto.

Por ejemplo valdría que \( 2^3|a \) y \( 5|a-1 \).

Es decir en realidad lo que tienes que probar es que \( 2^3|a(a-1)(a^2+1) \) (a cualquiera de los tres factores) y \( 5|a(a-1)(a^2+1) \)  (a cualquiera de los tres factores y no necesariamente el mismo de antes).

DEMOSTRACIÓN

Por hipótesis \( (a^3+21:20)=2\Longrightarrow{2|a^3+21} \wedge 2|20 \). Si \( 2|a^3+ 21\Longleftrightarrow{r_2(a^3+21)=0} \)

Con este dato de hipótesis analizo los posibles restos \( r_2(a) \)

\( \begin{matrix}{r_2(a)}&{0}&{1}\\{r_2(a^2)}&{0}&{1}\\{r_2(a^3)}&{0}&{1}\end{matrix} \)

\( r_2(a^3+21)=r_2[r_2(a^3)+r_2(21)]=r_2(1+1)=0\Longrightarrow{r_2(a)=1} \) por lo que este dato me dice que \( a \) es un número impar.

Si consideraba o suponía que \( r_2(a)=0 \) entonces llego a un absurdo pues contradigo la hipótesis.

Con este procedimiento ya se que \( a \) es un número impar y por lo tanto \( a-1 \) es un número par

Veamos si \( 2^3|a-1 \) y \( 5|a-1 \)

\( \begin{matrix}{r_8(a)}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}&{6}&{7}\\{r_8(a-1)}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}&{6}\end{matrix} \) Como \( a \) es impar \( 8\not | a \) pues todo multiplo de \( 8 \) es un número par, luego no considero el caso que \( r_8(a)=0 \)

Vemos que \( 2^3|(a-1) \) si \( r_8(a)=1 \)


\( \begin{matrix}{r_5(a)}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}\\{r_5(a-1)}&{4}&{0}&{1}&{2}&{3}\end{matrix} \) Vemos que \( 5|(a-1) \) si \( r_5(a)=1 \)

Por lo tanto podemos  concluir que \( 2^3|a-1 \) y \( 5|a-1 \) y \( (8:5)=1\Longrightarrow{2^3 \cdot 5|a-1}\Leftrightarrow{40|a-1} \)

Por la Propiedad: Siendo \( a,b \in{\mathbb{Z}} \) \( a|b\Longrightarrow{a|b\cdot c} \forall{c}\in{\mathbb{Z}} \)

Si \( 40|a-1\Longrightarrow{40|a(a-1)(a^2+1)} \) cqd

Pero ahí sólo estás probando el resultado cuando \( r_8(a)=1 \). ¿Qué pasa por ejemplo cuando \( r_8(a)=3,5,7 \). ¡Tienes que analizarlo!.

Para \( r_8(a)=1 \) efectivamente \( r_8(a-1)=0 \). Lo tenemos.
Si \( r_8(a)=3 \) entonces \( r_8(a^3+21)=r_8(48)=0 \), es decir,  \( a^3+21 \) es múltiplo de \( 8 \) y por tanto \( (a^3+21:20)\geq 4 \). Luego este caso no se da.
Si \( r_8(a)=5 \) entonces \( r_8((a-1)(a^2+1))=r_8(4\cdot 26)=0 \). Lo tenemos.
Si \( r_8(a)=7=-1 \) entonces \( r_8(a^3+21)=r_8(20)=4 \),  es decir,  \( a^3+21 \) es múltiplo de \( 8 \) y por tanto \( (a^3+21:20)\geq 4 \). Luego este caso no se da.

Ahora los restos módulo \( 5 \).

Si \( r_5(a)=0,1,2,3 \) entonces \( r_5(a(a-1)(a^2+1))=0 \). Lo tenemos:

Si \( r_5(a)=4=-1 \) entonces \( r_5(a^3+21)=r_5(20) \). Entonces \( a^3+21 \) es múltiplo de \( 5 \) y es falso que \( (a^3+21:20)=2 \). Esto no puede darse.

Saludos.

P.D.

Una pregunta sólo por enterarme yo: esto, \( (a^3+21:20)=2 \), ¿quiere decir que el mcd es 2?

Si.

[nktclau]

Hola Luis Fuentes Muchísimas Gracias por la explicación

Por ejemplo valdría que \( 2^3|a \) y \( 5|a-1 \).

Es decir en realidad lo que tienes que probar es que \( 2^3|a(a-1)(a^2+1) \) (a cualquiera de los tres factores) y \( 5|a(a-1)(a^2+1) \)  (a cualquiera de los tres factores y no necesariamente el mismo de antes).

Esto no lo tenía, me viene de 10!!! sólo me valí de una proposición que nos habían dado en la cual si \( a|n  \wedge  b|n \wedge (a,b)=1\Longrightarrow{a\cdot b|n} \) y no había aclaracion acerca de \( n \).

Pero ahí sólo estás probando el resultado cuando \( r_8(a)=1 \). ¿Qué pasa por ejemplo cuando \( r_8(a)=3,5,7 \). ¡Tienes que analizarlo!.

Para \( r_8(a)=1 \) efectivamente \( r_8(a-1)=0 \). Lo tenemos.
Si \( r_8(a)=3 \) entonces \( r_8(a^3+21)=r_8(48)=0 \), es decir,  \( a^3+21 \) es múltiplo de \( 8 \) y por tanto \( (a^3+21:20)\geq 4 \). Luego este caso no se da.
Si \( r_8(a)=5 \) entonces \( r_8((a-1)(a^2+1))=r_8(4\cdot 26)=0 \). Lo tenemos.
Si \( r_8(a)=7=-1 \) entonces \( r_8(a^3+21)=r_8(20)=4 \),  es decir,  \( a^3+21 \) es múltiplo de \( 8 \) y por tanto \( (a^3+21:20)\geq 4 \). Luego este caso no se da.

Ahora los restos módulo \( 5 \).

Si \( r_5(a)=0,1,2,3 \) entonces \( r_5(a(a-1)(a^2+1))=0 \). Lo tenemos:

Si \( r_5(a)=4=-1 \) entonces \( r_5(a^3+21)=r_5(20) \). Entonces \( a^3+21 \) es múltiplo de \( 5 \) y es falso que \( (a^3+21:20)=2 \). Esto no puede darse.

Y este análisis es "oro" ya que al costarme mucho este tema, creí que sólo debía considerar cuando \( r_8(a-1)=0 \) y descartar a los demás

Asi que voy a pasar a analizar nuevamente con esta explicación.

MILLÓN DE GRACIAS!!!!! 

Hola Feriva ya te respondió Luis Fuentes 

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

Esto no lo tenía, me viene de 10!!! sólo me valí de una proposición que nos habían dado en la cual si \( a|n  \wedge  b|n \wedge (a,b)=1\Longrightarrow{a\cdot b|n} \) y no había aclaracion acerca de \( n \).

¡Es qué es esa la proposición que aplico!. \( n \) es cualquier número. En tu caso \( n=a(a-1)(a^2+1). \)

Saludos.

[nktclau]

Hola

Esto no lo tenía, me viene de 10!!! sólo me valí de una proposición que nos habían dado en la cual si \( a|n  \wedge  b|n \wedge (a,b)=1\Longrightarrow{a\cdot b|n} \) y no había aclaracion acerca de \( n \).

¡Es qué es esa la proposición que aplico!. \( n \) es cualquier número. En tu caso \( n=a(a-1)(a^2+1). \)

Saludos.

  Vaya! hasta que lo entendí! 

Veamos si \( 2^3|a-1 \) y \( 5|a-1 \)

\( \begin{matrix}{r_8(a)}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}&{6}&{7}\\{r_8(a-1)}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}&{6}\end{matrix} \) Como \( a \) es impar \( 8\not | a \) pues todo multiplo de \( 8 \) es un número par, luego no considero el caso que \( r_8(a)=0 \)

Vemos que \( 2^3|(a-1) \) si \( r_8(a)=1 \)


\( \begin{matrix}{r_5(a)}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}\\{r_5(a-1)}&{4}&{0}&{1}&{2}&{3}\end{matrix} \) Vemos que \( 5|(a-1) \) si \( r_5(a)=1 \)

Por lo tanto podemos  concluir que \( 2^3|a-1 \) y \( 5|a-1 \) y \( (8:5)=1\Longrightarrow{2^3 \cdot 5|a-1}\Leftrightarrow{40|a-1} \)

Por la Propiedad: Siendo \( a,b \in{\mathbb{Z}} \) \( a|b\Longrightarrow{a|b\cdot c} \forall{c}\in{\mathbb{Z}} \)

Si \( 40|a-1\Longrightarrow{40|a(a-1)(a^2+1)} \) cqd

Pero ahí sólo estás probando el resultado cuando \( r_8(a)=1 \). ¿Qué pasa por ejemplo cuando \( r_8(a)=3,5,7 \). ¡Tienes que analizarlo!.


Luis ¿porqué sólo analizo \( r_8(a)=3,5,7 \) y no para los otros números?

 

[feriva]

P.D.

Una pregunta sólo por enterarme yo: esto, \( (a^3+21:20)=2 \), ¿quiere decir que el mcd es 2?

Si.

Muchas gracias, Luis.

Gracias de todas formas, nktclau.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Luis ¿porqué sólo analizo \( r_8(a)=3,5,7 \) y no para los otros números?

Por que como tu misma has razonado de las hipótesis se deduce que \( a \) es impar. Entonces el resto de dividir por \( 8 \) no puede ser par.

Saludos.