Hola
Muy buenas, tengo el siguiente problema:
Hallar la base dual de : \( V=P_2\left(R\right)\:y\:B=\left\{1,x,x^2\right\} \)
Entonces mostrare hasta donde llego en mi solución:
Sea \( B^º \)=\( \left\{f_1,f_2,f_3\right\} \) la base dual de \( B \) , y sea
\( \varphi =\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3. \)Por definición de base dual se tiene que:
\( \left \{ \begin{matrix} (\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3)(1)=\lambda_1 \\ (\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3)(x)=\lambda_2\\ (\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3)(x^2)=\lambda_3. \end{matrix}\right. \)
de aquí se tiene lo siguiente:
\( \left \{ \begin{matrix} \lambda_1= \varphi(1)=? \\ \lambda_2= \varphi(x)=?\\\lambda_3= \varphi(x^2)=?,\end{matrix}\right. \)
No recuerdo como calcular el vector que corresponderá a la base dual. Se que se usa el Delta de Kronecker pero en este caso de funciones
no sabría que hacer
Pero no tienes que hallar ni \( \varphi \) ni los \( \lambda_i \).
En primer lugar recuerda que un elemento del dual es una aplicación desde el espacio vectorial al cuerpo. En este caso una aplicación que lleva polinomios de grado menor o igual que dos en números.
La base dual de \( \{1,x,x^2\} \) tiene que estar formada por tres de tales aplicaciones \( \{f_1,f_2,f_3\} \) con:
\( f_i:{\mathcal P}_2(\Bbb R)\to\Bbb R \)
verificando:
\( f_1(1)=1,\quad f_1(x)=0,\quad f_1(x^2)=0 \)
\( f_2(1)=0,\quad f_2(x)=1,\quad f_3(x^2)=0 \)
\( f_3(1)=0,\quad f_3(x)=0,\quad f_3(x^2)=1 \)
Para decir quienes son tales aplicaciones tienes que dar como actúan sobre un polinomio cualquiera \( a+bx+cx^2 \). Entonces:
\( f_1(a+bx+cx^2)=af_1(1)+bf_1(x)+cf_1(x^2)=a\cdot 1+b\cdot 0+c\cdot 0=a \)
\( f_2(a+bx+cx^2)=af_2(1)+bf_2(x)+cf_2(x^2)=\ldots \)
continúa...
Saludos.
