Hola
Sea \( V,W \) espacios vectoriales de dimension finita y sea \( T:V\rightarrow W \)
una transformacion lineal. Pruebe que \( Rang\left(T^t\right)=rang\left(T\right) \) y
\( img\left(T^t\right)=\left(N_T\right)º \).
Quedo atento a sus comentarios, y aportes.
Sería bueno saber exactamente que definiciones y resultados sobre ellas conoces.
Sospecho que por \( T^t \) denotas la aplicación dual:
\( T^t:W^*\to V^*,\quad T(f)=f\circ T \)
Hay varios resultados que te serán útiles:
\( rango(T)=dim(Im(T))=\textsf{rango de la matriz asociada a }T. \)
\( rango(T^t)=dim(Im(T^t))=\textsf{rango de la matriz asociada a }T^t. \)
Para matrices \( rango(A)=rango(A^t). \)
Y finalmente la matriz asociada a \( T^t \) respecto a un par de bases duales, es la traspuesta de la matriz asociada respecto a las bases originales.
De todo esto es inmediato que \( rango(T)=rango(T^t) \).
Para la segunda parte tienes que probar que \( im(T^t)=Nuc(T)^* \), donde por definición:
\( im(T^t)=\{f\in V^*|\exists g\in W^*,\,T^t(g)=f\} \)
\( Nuc(T)^*=\{f\in V^*|f(u)=0,\,\forall u\in Nuc(T)\} \)
Ahora:
\( dim(Im(T^t))=rango(T^t)=rango(T) \)
\( Nuc(T)^*=dim(V)-dim(Nuc(T))=rango(T) \)
Entonces como son subespacios de la misma dimensión basta probar que \( Im(T^t)\subset Nuc(T)^* \). Veámoslo:
\( f\in Im(T^t)\quad \Rightarrow{}\quad f=T^t(g)=g\circ T \) para algún \( g\in W^* \)
Ahora para cualquier \( u\in Nuc(T) \):
\( f(u)=(g\circ T)(u)=g(T(u))=g(0)=0 \)
y por tanto \( f\in Nuc(T)^* \).
Saludos.
