Autor Tema: Polinomio irreducible

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14 Abril, 2021, 05:03 pm
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Vilma

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Buenas Tardes espero estén bien de salud. He intentado resolver el siguiente ejercicio pero no he conseguido nada aún. Quería ver si ustedes tienen alguna sugerencia. Gracias por su tiempo.



14 Abril, 2021, 08:10 pm
Respuesta #1

geómetracat

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La idea es que por el lema de Gauss ver que el polinomio es irreducible en \[ E[x] \] es equivalente a ver que es irreducible en \[ K[y][x] \cong K[x,y] \]. Pero ver que es irreducible en \[ K[x,y] \] es fácil, pues es un polinomio de grado uno en \[ y \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Abril, 2021, 09:04 pm
Respuesta #2

geómetracat

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Antes de nada, bienvenido al foro (se me olvidó antes). Recuerda que debes escribir las fórmulas matemáticas en LaTeX, encerrándolas entre las etiquetas [ tex ] y [ /tex ] (sin los espacios).

Disculpe pero tengo dos dudas. Primera dónde ocupo la hipótesis que \( mcd(g,h)=1 \) en \( K[x] \).
. Segunda, por qué si tiene grado 1 en y ya es irreducible. Disculpe las molestias, gracias.
Lo que puse era solo la idea, no una demostración detallada. Primero, para aplicar el lema de Gauss debes comprobar que el polinomio \[ g(x)-yh(x) \in K[y][x] \] es primitivo, es decir, que no hay ningún elemento irreducible de \[ K[y] \] que divida a todos los coeficientes del polinomio. Esto no es difícil, teniendo en cuenta que \[ g(x) \neq 0 \] (que se sigue de la hipótesis de \[ mcd(g(x),h(x))=1 \]).

Segundo, hay ver que es irreducible en \[ K[x,y] \]. Aquí se usa la hipótesis de que \[ g(x),h(x) \] son coprimos. Considera cualquier factorización \[ g(x)-yh(x)=u(x,y)v(x,y) \]. Contando grados en \[ y \], tienes que uno de los factores tiene grado uno en \[ y \] y el otro grado cero en \[ y \], luego de hecho la factorización es de la forma \[ g(x)-yh(x)=u(x)v(x,y) \]. Pero si el grado de \[ u \] en \[ x \] fuera mayor que cero, \[ u(x) \] sería un factor tanto de \[ g(x) \] como de \[ h(x) \], en contradicción con que son coprimos. Por tanto, \[ u(x)\in K \] es una unidad. Así pues, el polinomio \[ g(x)-yh(x) \] es irreducible, como queríamos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Abril, 2021, 09:30 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Vilma: has borrado un mensaje donde añadías una pregunta para que geométracat te aclarase algo sobre su primera respuesta.

 En lo sucesivo evita este tipo de cosas; con ello dejas descontextualizada la aclaración de geométracat, lo cuál es poco respetuoso con quien pretende ayudarte.

 Además está expresamente prohibido en las reglas del foro:

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