Antes de nada, bienvenido al foro (se me olvidó antes). Recuerda que debes escribir las fórmulas matemáticas en LaTeX, encerrándolas entre las etiquetas [ tex ] y [ /tex ] (sin los espacios).
Disculpe pero tengo dos dudas. Primera dónde ocupo la hipótesis que \( mcd(g,h)=1 \) en \( K[x] \).
. Segunda, por qué si tiene grado 1 en y ya es irreducible. Disculpe las molestias, gracias.
Lo que puse era solo la idea, no una demostración detallada. Primero, para aplicar el lema de Gauss debes comprobar que el polinomio \[ g(x)-yh(x) \in K[y][x] \] es primitivo, es decir, que no hay ningún elemento irreducible de \[ K[y] \] que divida a todos los coeficientes del polinomio. Esto no es difícil, teniendo en cuenta que \[ g(x) \neq 0 \] (que se sigue de la hipótesis de \[ mcd(g(x),h(x))=1 \]).
Segundo, hay ver que es irreducible en \[ K[x,y] \]. Aquí se usa la hipótesis de que \[ g(x),h(x) \] son coprimos. Considera cualquier factorización \[ g(x)-yh(x)=u(x,y)v(x,y) \]. Contando grados en \[ y \], tienes que uno de los factores tiene grado uno en \[ y \] y el otro grado cero en \[ y \], luego de hecho la factorización es de la forma \[ g(x)-yh(x)=u(x)v(x,y) \]. Pero si el grado de \[ u \] en \[ x \] fuera mayor que cero, \[ u(x) \] sería un factor tanto de \[ g(x) \] como de \[ h(x) \], en contradicción con que son coprimos. Por tanto, \[ u(x)\in K \] es una unidad. Así pues, el polinomio \[ g(x)-yh(x) \] es irreducible, como queríamos.
