Hola, que tal foro.
Espero que todos se encuentren bien de salud, también espero que puedan brindar su apoyo para demostrar que el intervalo \( [a,b] \) es conexo. Se los agradecería demasiado.
Mi prueba, la realizo por contradicción.
supongo que \( I=[a,b] \) es no covexo, es decir existen conjuntos \( A \) y \( B \) ambos abiertos, tales que \( I\subseteq{A\cup{B}} \), \( A\cap{B}=\emptyset \), \( A\cap{B}=\emptyset \) y \( B\cap{I}\neq\emptyset \)
De lo anterior puedo decir que existen \( c\in{A} \) y \( d\in{B} \).
Sin perdida de generalidad puedo asumir que \( c<d \) (Observando que \( c=d \) no puede ocurrir pues \( A\cap{B}=\emptyset \)). Como \( A \) y \( B \) son abiertos \( a<c<d<b \).
Considerando el conjunto \( S=\{x\in{A} | x<d\} \)
Tengo en cuenta que \( S\neq\emptyset \), puesto que \( A\cap{B}=\emptyset \), eso garantiza que \( A\neq\emptyset \) y entonces \( S\neq\emptyset \) (¿Es correcto?).
Como \( S\neq\emptyset \) y además es acotado, cuenta con un supremo.
Sea \( supS=s \), \( s \) tiene que ser menor o igual a \( d \) por como esta definido, \( a<s\leq{d}<b \), por lo que \( s\in{I}\subseteq{A\cup{B}} \), lo que es \( s\in{A\cup{B}} \).
Si tomo a \( s\in{B} \), puedo considerar una bola abierta \( B(s,r) \) tal que \( B(s,r)\subseteq{B} \).
Obteniendo que para todas las \( x\in{B(s,r)} \), se satiface que \( x\not\in{A} \) y además no hay \( x\in{S} \) tales que \( s-r<x \), es decir que todo elemento en \( B(s,r) \) es mayo que cualquier elemento de \( S \).
Esto significa que existen cotas superiores de \( S \) menores que \( s \), lo cual es una contradicción, pues \( s \) no es la mínima cota superior.
Asi \( s\not\in{B} \)
Si se toma \( s\in{A} \), considero la misma bola abierta \( B(s,r) \) tal que \( B(s,r)\subseteq{A} \).
Obteniendo que para todas las \( x\in{B(s,r)} \), se satisface que \( x\in{S} \) y además estas \( x \) son mas grandes que \( s \).
Lo significa que existen elementos en \( S \) mayores que \( s \), lo cual es una contradicción, pues \( s \) es la mínima cota superior.
Por lo tanto \( s\not\in{A} \)
Obteniendo que \( s\not\in{A\cup{B}} \), lo que implica que \( s\not\in{I} \), contradiciendo el supuesto.
Conclusión, el intervalo \( [a,b] \) es conexo.
¿Hace falta considerar si \( S\neq\emptyset \)? (Tengo confusión en si se considera o no, no me es claro si se debería considerarlo, pues
\( S \) claramente no es vacío).
Espero puedan ayudar en aclarar mis dudas y también en corregir cualquier error que se presente en mi intento de prueba, seria grato para corregir todo defecto al escribir una prueba.
Muchas gracias de antemano, tengan un excelente día y cuídense mucho.
