Hola
Dados dos vectores no nulos \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \) en \( \Bbb R^3 \), marcar, si hubiere, la(s) expresiones verdaderas:
(a) Si conocemos\( (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \) y \( \overrightarrow{u} ∧ \overrightarrow{v} \) se puede calcular el angulo entre los vectores.
Esta es verdadera. Entendiendo el ángulo medido en \( [0,\pi) \), Ten en cuenta que
\( \|\vec u\wedge \vec v\|=\|u\|\|v\|sin(\alpha) \)
\( \vec u\cdot \vec v=\|u\|\|v\|cos(\alpha) \)
Si el producto escalar es cero son perpendiculares. En otro caso el cociente de las dos expresiones anteriores te da la tangente del ángulo y permite identificarlo.
(b)\( (3\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) ∧ (\overrightarrow{u} − \overrightarrow{u}) = 4(\overrightarrow{v} ∧ \overrightarrow{u}) \)
Creo que es:
(b)\( (3\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) ∧ (\overrightarrow{u}-\color{red}\overrightarrow{v}\color{back}) = 4(\overrightarrow{v} ∧ \overrightarrow{u}) \)
Es cierto. Basta aplicar la bilinealidad y la antisimetría del producto vectorial.
(c)\( (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}− \overrightarrow{v}) = |\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{\overrightarrow{v}}|^2 \)
Es falsa. ¿Qué pasa si \( \vec u=\vec v \)?.
(d)\( (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} ∧ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = 0 \)
Esta supongo que es:
\( (\vec u,\vec v\wedge (\vec u+\vec v))=0 \)
Y es cierta:
\( (\vec u,\vec v\wedge (\vec u+\vec v))=(\vec u,(\vec v\wedge \vec u)+(\vec v\wedge \vec v))=(\vec u,(\vec v\wedge \vec u)=0 \).
porque por definición de producto vectorial \( \vec v\wedge \vec u \) es perpendicular a \( \vec u \).
Saludos.
