[YeffGC]

Hola alguna idea como se maneja esta demostración

Sea  \( T:C\left[0,1\right]\rightarrow{C\left[3,4 \right]} \) dado por \( Tf(x)\rightarrow{f(x-3)} \) demuestre que T es un isomorfismo

[Luis Fuentes]

Hola

Hola alguna idea como se maneja esta demostración

Sea  \( T:C\left[0,1\right]\rightarrow{C\left[3,4 \right]} \) dado por \( Tf(x)\rightarrow{f(x-3)} \) demuestre que T es un isomorfismo

Supongo que \( C[a,b] \) denota el espacio de funciones continuas en \( [a,b] \).

¿Qué has intentado? El ejercicio es bastante mecánico y muy inmediato.

1) Comprueba que \( T \) está bien definido, es decir que si \( f \) es continua en \( [0,1] \) enontces \( f(x-3) \) es continua en \( [3,4] \).
2) Comprueba que es lineal.
3) Para ver que es isomorfismo, en este caso una forma muy directa es ver que tiene inversa: \( T^{-1}(f(x))=f(x+3) \).

Saludos.

[YeffGC]

Pues lo que intente fue ocupar los teoremas que dice

es isomorfismo si solo si es uno a uno y sobre
 Y otros equivalentes pero no me ha salido

Hola
¿Qué has intentado? El ejercicio es bastante mecánico y muy inmediato

[Luis Fuentes]

Hola

Pues lo que intente fue ocupar los teoremas que dice

es isomorfismo si solo si es uno a uno y sobre
 Y otros equivalentes pero no me ha salido

Eso está bien una vez que has demostrado que es lineal.

Uno a uno entiendo que te refieres a inyectiva (en realidad por uno a uno yo normalmente me refiero a biyectiva, es decir, inyectiva y sobreyectiva; pero entonces no tendría sentido comprobar de manera separada la sobreyectividad).

En realidad ambas cosas se prueban rápidamente con la inversa que te comenté. En cualquier caso:

1) Para ver que es inyectiva tienes que probar que si \( T(f(x))=T(g(x))) \) entonces \( f=g \).

Pero \( T(f(x))=T(g(x)) \) implica \( f(x-3)=g(x-3) \) para todo \( x\in [3,4] \). Tomando \( y=x-3 \), implica que \( f(y)=g(y) \) para todo \( y\in [0,1] \). Por tanto \( f=g \).

2) Para ver que es sobre, tienes que probar que dada \( h\in C[3,4] \), existe \( f(x)\in C[0,1] \) tal que \( T(f(x))=h \). Comprueba que \( f(x)=h(x+3) \) cumple esa condición.

Saludos.