[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
En cada caso hallar la ecuación de todos los planos que satisfacen las condiciones especificadas:
Pasa por el punto \( C= (1,1,1) \), es paralelo al eje \( \vec{Oy} \) forma un  angulo de \( \frac{\pi}{6} \) con el eje \( \vec{Ox} \).

Este me esta costando bastante, hasta el momento tengo lo siguiente:
El eje Oy es la recta \( (x,y,z)=(0,0,0) + \lambda (0,1,0) \) ,  ¿puedo usar su vector director como vector para mi plano?
Ademas cuento con el punto (1,1,1) por lo que me falta 1 vector director mas para mi plano el cual llamare v.

Se que \( \displaystyle cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{<v,(1,0,0)>}{||v||} \) ¿Es correcto utilizar el vector director del eje x aquí?

Si lo anterior es correcto y logro despejar v el plano quedaría: \( \pi = (1,1,1) + \lambda (0,1,0) + \mu v \)

Saludos,
Franco.

[delmar]

Hola

Sí, pero esa ecuación no es suficiente para encontrar v, el cual se puede suponer unitario; pero de todas maneras tiene la forma \( v=(v_1,v_2,v_3) \)

Ojo que el vector normal al plano \( \vec{N} \) es ortogonal al vector \( \vec{j} \) por ser el plano paralelo al eje Y, además el ángulo entre \( \vec{N} \) e \( \vec{i} \) denominémosle \( \theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{6} \) y se tiene \( cos \theta=<\vec{N},\vec{i}> \), considerando que \( \left\|{\vec{N}}\right\|=1 \) y queda determinado \( \vec{N} \) y simplemente considerar que C pertenece al plano y la ecuación queda determinada en forma cartesiana.


Saludos

[franma]

Buenas,

...Ojo que el vector normal al plano \( \vec{N} \) es ortogonal al vector \( \vec{j} \) por ser el plano paralelo al eje Y...

No logro ver en que afecta esto, o tal vez era simplemente una observación.

...además el ángulo entre \( \vec{N} \) e \( \vec{i} \) denominémosle \( \theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{6} \)...

¿Esto de donde sale? ¿Seria posible una explicación de la lógica o pensamiento detrás de estas observaciones? Si no es mucha molestia claro, me cuesta un poco ver todas estas cosas en \( R^3 \)

Muchas gracias,
Saludos,
Franco.

[delmar]

Buenas,

...Ojo que el vector normal al plano \( \vec{N} \) es ortogonal al vector \( \vec{j} \) por ser el plano paralelo al eje Y...

No logro ver en que afecta esto, o tal vez era simplemente una observación.

...además el ángulo entre \( \vec{N} \) e \( \vec{i} \) denominémosle \( \theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{6} \)...

¿Esto de donde sale? ¿Seria posible una explicación de la lógica o pensamiento detrás de estas observaciones? Si no es mucha molestia claro, me cuesta un poco ver todas estas cosas en \( R^3 \)

Muchas gracias,
Saludos,
Franco.

Viene de la definición de ángulo entre una recta y un plano, es el ángulo entre un vector director de la recta y su proyección sobre el plano, lo cual equivale (hacer un croquis, director, proyección y normal al plano) a \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \) menos el ángulo entre la normal al plano y el vector director

Saludos

[franma]

Buenas,

No logro llegar a ninguna respuesta correcta, y sigo un poco confundido en cuanto al camino que tomar.

He intentado despejar posibles vectores normales de el producto interno, tanto como lo que propuse en mi primer mensaje como lo que propuso Delmar del vector normal, pero tampoco llego a ningún plano que satisfaga las condiciones.

Muestro un ejemplo para que me digan donde estoy cometiendo errores.
\( cos(60)=<N,(1,0,0)> \) y \( ||N||=1 \)

Un posible N que cumple estas condiciones: \( (1/2,\sqrt{3/4},0) \)

Quedaría el plano determinado por la ecuación: \( 1/2(x-1)+\sqrt{3/4}(y-1) =0 \)

Pero este plano no cumple la condición de ser paralelo con el eje Y, crei que era por haber dejado la componente Z del vector v como 0, pero probando con valores tampoco logro dar con el plano buscado.

Saludos,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas,

No logro llegar a ninguna respuesta correcta, y sigo un poco confundido en cuanto al camino que tomar.

He intentado despejar posibles vectores normales de el producto interno, tanto como lo que propuse en mi primer mensaje como lo que propuso Delmar del vector normal, pero tampoco llego a ningún plano que satisfaga las condiciones.

Muestro un ejemplo para que me digan donde estoy cometiendo errores.
\( cos(60)=<N,(1,0,0)> \) y \( ||N||=1 \)

Un posible N que cumple estas condiciones: \( (1/2,\sqrt{3/4},0) \)

¡Claro! Es que no puedes escoger el que tu quieras, porque entonces descuidas la condición de paralelismo con el eje \( OY \).

Si el plano es paralelo al eje \( OY \) su vector normal \( N=(a,b,c) \) es perpendicular a \( (0,1,0) \). De donde \( b=0 \).

Ahora la condición \( cos(60)=<N,(1,0,0)> \) significa que \( a=1/2 \).

Finalmente como \( \|N\|=1 \) entonces \( a^2+b^2+c^2=1 \), es decir, \( (1/2)^2+0^2+c^2=1 \) y de ahí hallas \( c \).

Tienes dos soluciones.

Saludos.

[franma]

Buenas,

Hola

¡Claro! Es que no puedes escoger el que tu quieras, porque entonces descuidas la condición de paralelismo con el eje \( OY \).

Si el plano es paralelo al eje \( OY \) su vector normal \( N=(a,b,c) \) es perpendicular a \( (0,1,0) \). De donde \( b=0 \).

Ahora la condición \( cos(60)=<N,(1,0,0)> \) significa que \( a=1/2 \).

Finalmente como \( \|N\|=1 \) entonces \( a^2+b^2+c^2=1 \), es decir, \( (1/2)^2+0^2+c^2=1 \) y de ahí hallas \( c \).

Tienes dos soluciones.

Saludos.

Claro!, Ahora todo tiene mucho mas sentido, finalmente el plano buscado es \( \pi : \frac{1}{2}(x-1) \pm \sqrt{\frac{3}{4}}(z-1)=0 \)



Muchísimas gracias!
Saludos,
Franco.