[Gorgeous]

Que piensan sobre introducir los complejos como coordenadas del plano? al fin y al cabo asi se representan, y luego las operaciones unas (+ -) ampliando las de R y otras (.%)quizas buscando alguna propiedad deseable.

[Nineliv]

He estado leyendo este tema con mucho interés y desde hace mucho, años incluso, tengo una duda que me gustaría discutir.

En la escuela, los números complejos aparecen de pronto y es difícil motivarlos (que sirven para dar solución a ecuaciones como x2 + 1 sirve de poco porque ¿para qué quiere uno una solución de este tipo?

He visto como compañeros de clase se estrellaban una y otra vez contra los números complejos, precisamente por eso, porque les parecen complejos y artificiales. A mí siempre me han parecido sencillos y manejables. Con un poco de cuidado pueden manejarse con la misma soltura que usamos los reales. Por eso mi duda es la siguiente:

Podría hacerse una docencia a nivel elemental, (primaria, secundaria y bachillerato o equivalentes)  en la cual los números complejos le quiten el papel a los reales. Es decir, en vez de hablar de los números reales como el núcleo de las matemáticas, ¿puede ser este núcleo C? Hablar de la parte real e imaginaria nos devuelve R cuando queramos.

Digo esto porque me resulta algo molesto que C siempre sea como la prima fea con la que nadie quiere bailar. Pero al no haber tenido experiencia en la docencia, salvo clases particulares, no puedo responder bien a esto.

Tampoco quiero decir que me gustaría que fuera así, simplemente es un experimento, que podría salir bien o fatal.

Un saludo armónico.

[Leonardog]

Creo que lo que propones (nineliv) es cierto y podría ser bueno intentarlo. El problema (segun mi entender) es que chicos que estan en ciclos básicos (primaria e incluso secundaria), que deben aprender toda una serie de conceptos (empezando por suma, resta, etc, llegando a potenciación, radicación, logaritmación, trigonometría), introducirles la idea de números complejos (o empezar con imaginarios) necesita cierto nivel de abstracción y complejidad (valga la redundancia!) que no creo que todos la tengan (en ese nivel). De todas formas, si todos los cursos de matemáticas se desarrollan en base a definir bien los conceptos, aclarando el conjunto de números en el que estamos trabajando (reales, enteros, racionales) no debería ser dificil hacer una extensión a complejos. Como no se hace incapié en eso, cuando uno introduce los imaginarios, es común escuchar: "Entonces todo lo que me enseñaron antes estaba mal!". Hay que pensar que muchos chicos tienen una brillante capacidad para las matemáticas, pero muchos otros tienen capacidades para otras cosas.
De cualquier manera, creo que sería dificil hacer que los C reemplacen a los R, porque es más facil de hacer entender las operaciones básicas con los R (siempre en ciclos básicos).
Saludos...

[León]

Me gusta la idea de Nineliv, al menos la idea de introducir antes (por ahí en la escuela primaria) los números complejos, junto con los reales.
Los 'peros' de Leonardog son importantes, asi que trato de resolver esa cuestión.

Lo que hay en el fondo que te obliga a seguir trabajando con los reales es la relación de orden. La experiencia con las relaciones de orden no la podés conseguir trabajando con los complejos. Podría darse esa experiencia trabajando con Q, simplemente... y pasar de Q a C con la idea de extensión algebraicamente cerrada (pero no diciéndolo así).

Hay que resolver la cuestión de las metáforas que ayudan a entender, también. En la geometría plana existe una metáfora para los reales que es la medida de los segmentos (y de echo es una metáfora muy importante en nuestra manera de pensar)... ¿existe una metáfora similar para los complejos? Si, mas de una... pero quizas la mejor -y mas conocida- es pensar los números como rotaciones y homotecias (los reales como las homotecias propias y los complejos en general como homotecias mas rotaciones). Habría que trabajar mucho con la intuición sobre esas transformaciones para que la metáfora resulte útil, supongo. ¿Como se puede hacer? Se me ocurre que por ahí dejándolos jugar con un proyector a los seis o siete años (de esos que se usan a veces en la facultad para pasar filminas). Se podría hacer un dibujo y ver que alejando y acercando la lente cambia de tamaño, girando la filmina rota... problemas fáciles con complejos se pueden traducie en 'donde debe estar la lente y como hay que rotar la filmina para que...' (...'una casita se superponga con otra casita dibujada en el fondo', por ejemplo).

Ahora, es cierto que construir y trabajar con los complejos sin tener los reales como base es una tarea muy ardua. Por lo menos para mi... piensa que en nuestra educación los complejos se construyen en base a los reales, y muchas veces los pensamos simplemente como pares ordenados de reales. El módulo es un número real. Un complejo mas su conjugado dan un número real etc... (usando la metáfora, entonces sería un rotohomotecia mas la rotohomotecia de ángulo opuesto dan una homotecia pura).  Pero la cuestión del orden es importante (no me imagino una educación en matemáticas sin experiencia con las desigualades).

En definitiva, no sé si es factible trabajar sólo con los complejos, pero me parece una excelente idea meter los complejos mucho antes en la educación, de manera pensada (no forzando abstracciones para las que los petisos pueden no estar todavía preparados).

[Nineliv]

Los números reales tienen una gran ventaja frente a los complejos. Los primeros son "los números de medir", tienen una representación en el mundo real. Esto no pasa con los complejos (al menos tan evidentemente). Sin embargo, a pesar de eso la inclusión \( \large\mathbb{R}\subseteq \mathbb{C} \) no sé ve tan natural como la \( \large\mathbb{N}\subseteq \mathbb{R} \) por ejemplo. Cuando uno escribe \( \large n\cdot m \) puede interpretarse como la suma \( \large n +\stackrel{\tiny m)}{\ldots}+n \), y nadie tiene nada en contra; pero si escribimos \( (\sqrt{2})^{\sqrt[3]{7} \) esta interpretación no tiene sentido (o por lo menos para unos alumnos de primaria) (A mí no me cabe en la cabeza, y eso que es bastante grande). Pero nadie se ha escandalizado por eso. Todo el mundo sabe que esa multiplicación (como operación) es la misma en ambos casos.

Alguien pensará que no hay para tanto, porque la multiplicación de dos reales no es más que una generalización de la multiplicación de naturales que coincide con esta cuando multiplicamos dos números de \( \large\mathbb{N} \) y que la interpretación \( \large n +\stackrel{\tiny m)}{\ldots}+n \) es algo sólo de los naturales. Pero lo mismo puedo decir yo de la multiplicación de números complejos.

Por otro lado, no se puede negar la importancia de las desigualdades en las matemáticas. Estas desigualdades se dan entre números reales y no entre complejos. Por cierto me permito hacer algo de publicidad y promocionar la llamada segunda desigualdad triangular, a veces muy olvidada. Ella me ha salvado varias veces el culo:

\( \large |a-b| \geq \left||a| - |b|\right|\qquad \forall a,b\in \mathbb{R}. \)

Para quien le guste generalizar, en vez de \( \large\mathbb{R} \) se puede poner un espacio normado cualquiera.

Para finalizar, yo diría que ese carácter de estar separado del resto de conjuntos numéricos se lo da su imposibilidad de ser ordenados coherentemente con \( \large\mathbb{R} \).Es como si la generalización no fuera del todo satisfactoria, la relación de orden de \( \large\mathbb{R} \) no puede extenderse a \( \large\mathbb{C} \).

Saludos!!

[León]

Muevo la discusión sobre el orden de los complejos al foro general por una cuestión, justamente, de orden 

[juana la loca]

Gracias por la informacion.Pareceria ahora que este tema de los Complejos puede ser mas fecundo de lo que yo pensaba. Quien dijo de ellos:"Esos extraños seres que estan entre el ser y el no ser"?
un saludo a todos Juana

Lo dijo Leibnitz:
"El espiritu divino ha encontrado una salida magnifica en esta maravilla del analisis, en este portento del mundo ideal, en este anfibio entre el ser y el no ser, que llamamos la raiz imaginaria de la unidad negativa"
(de "El numero, lenguaje de la ciencia" de Tobias Dantzig)

[teeteto]

La gran diferencia que yo veo entre la extensión Q---->R y la extensión R---->C es que la primera es (no se si decirlo así) "analítica" y la segunda es "algebráica". Los reales surgen completando los racionales de modo que toda sucesión de Cauchy sea convergente, es una compleción según un criterio analítico. Los complejos se obtienen completandolos reales para que todo polinomio se factorice en factores lineales sobre C, es una compleción algebráica.

Con este punto de vista parece "lógico" que R conserve el orden de Q puesto que lo que estamos haciendo es rellenar agujeritos que tienen su lugar bien determinado. Sin embargo al pasar de R a C no estamos rellenando nada, estamos ampliando el espacio de una manera mucho más brutal.

Quizás esto que he dicho sea una estupidez, se me acaba de ocurrir así sobre la marcha. Un saludo.

[Alexandros]

Ya se que esto está absolutamente descolgado y fuera de tiempo, pero bueno...mejor tarde que nunca.

En física estoy viendo un fenómento interesantísimo que se llama difracción. Hay una mini introducción en estas webs (no es necesario leer las fórmulas para entenderlo):
- http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/107/htm/sec_9.htm (un poco de teoría)
- http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/difraccion/difraccion.html (otro poco de teoría con un excelente "jueguito" al final)
La cuestión es que cuando se estudia matemáticamente el fenómeno, la representación por medio de exponenciales complejas del campo electromagnético (es decir, de la luz) es imprescindible. De otro modo, las cuentas serían interminables y llegar a una conclusión sería muchísimo más difícil.
Esto muestra la utilidad de la representación compleja de el "vector campo eléctrico", con la cual no estoy totalmente familiarizado y de la que seguramente voy a preguntar algo en poco tiempo.

Saludos,
Alejandro.

[incógnita_j]

Me parece interesante de introducir la idea de complejos como una extensión de los reales haciendo resolver la ecuación x^2+1=0.
Sin embargo, esto nos lleva a pensar lo que antes dijimos que debía evitarse, es decir: i=(-1)^(1/2). Simplemente tras estos primeros avances, hablaría de números imaginarios, en los que "i" es una parte nunca vista, equiparable a la ordenada de un punto en la recta real (luego se introduce el plano complejo) y se estudia las leyes de este grupo de manera que las leyes del conjunto |R se extiendan a C. Tengo un libro muy interesante donde viene muy bien explicado. se llama "elementos de matemáticas" pero no se el autor cuando pueda os lo diré.

Para aplicarlos, lo más sencillo es el uso de la geometría y de transformaciones en el plano.