[darksoul]

- Estudiar si la siguiente matriz \( A \) es o no diagonalizable, razonando la respuesta. En caso de  serlo, obtener una matriz \( P \) invertible y otra matriz \( D \) diagonal tales que:

\( P^{-1}\cdot A\cdot P=D \)

\( A=\left(\begin{array}{rrr}3&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{array}\right) \)

- Estudiar para qué valores de los parámetros \( a,b,c \) la matriz \( A \) es diagonalizable y, en tales casos, hállese una base de vectores propios.

\( A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&a\\0&1&b\\0&0&c\end{array}\right) \)
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 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[ani_pascual]

Hola:

Estudiar si la siguiente matriz A es o no diagonalizable, razonando la respuesta. En caso de
serlo, obtener una matriz P invertible y otra matriz D diagonal tales que 

 𝑃−1 ∙ 𝐴∙𝑃 = 𝐷
A = (3 0 1
       0 2 0
       1 0 3 )


Estudiar para qué valores de los parámetros 𝑎,𝑏,𝑐 la matriz 𝐴 es diagonalizable y, en tales casos, hállese una base de vectores propios.
A = (1 0 𝑎
        0 1 𝑏
        0 0 𝑐 )

Hay varias maneras de escribir matrices con \( \LaTeX \); suelo hacerlo a la antigua usanza  :

\( A=\left(\begin{array}{rrr}3&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{array}\right) \) y lo mismo con la otra \( \left(\begin{array}{rrr}1&0&a\\0&1&b\\0&0&c\end{array}\right) \)

Respecto a la primera, es simétrica y real, luego será diagonalizable. Te sugiero que halles los valores propios (\( |A-\lambda I|=0 \)) y una base de vectores propios, que te dará la matriz \( P \) si los pones en columnas. Para la segunda lo mismo, halla los valores propios y las dimensiones algebraica y geométrica de los espacios asociados a cada valor propio en funcóon de \( a \) y \( b \).
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Por ampliar un poco más el segundo caso, comprueba que los autovalores son \( 1,1,c \) lo cuál te lleva a distinguir dos casos:

- Si \( c\neq 1 \) hay dos autovalores:

\( \lambda_1=1 \) con multiplicidad algebraica \( 2 \).
\( \lambda_2=c \) con multiplicidad algebraica \( 1 \).

 La suma de algebraicas coincide con el tamaño de la matriz (o si quieres todos los autovalores son reales) y por tanto siempre triangulariza (de hecho la matriz original es triangular). Diagonaliza si además las multiplicidades geométricas y algebraicas de cada autovalor coinciden. Si la algebraica es uno, al geométrica también; así que sólo tienes que comprobar la geométrica para \( \lambda_1=1 \)

\( mg(1)=3-rango(A-1\cdot Id) \)

 Termina...

- Si \( c=1 \) hay un autovalor:

\( \lambda_1=1 \) con multiplicidad algebraica \( 3 \).

 La suma de algebraicas coincide con el tamaño de la matriz (o si quieres todos los autovalores son reales) y por tanto siempre triangulariza (de hecho la matriz original es triangular). Ahora tienes que comprobar si la multiplicidad geométrica coincide con la algebraica:

\( mg(1)=3-rango(A-1\cdot Id) \)

 Termina...

Saludos.