[Pp]

Buenas tardes,

Unos compañeros y yo hemos estado pensando un nuevo enfoque sobre la paradoja de los cumpleaños.

Se trata de trabajar con probabilidades condicionadas. Nos definimos una variable aleatoria X="numero de personas con cumpleaños en el dia i" , siendo i un día cualquiera de la semana, por ejemplo lunes. Entonces, la idea es calcular la probabilidad condicionada de que dos personas cumplan años el mismo día en un grupo de n individuos, teniendo en cuenta que  k<=n personas han nacido en lunes (p.ej.).

Destacar que esto reduce tu muestreo a personas que hayan nacido el mismo año; sino, que hayan nacido k personas un lunes, no nos dice nada relevante sobre si hay más probabilidad de que cumplan años dos personas el mismo día o no.

Sin embargo, no conseguimos calcular la probabilidad condicionada a esta nueva variable aleatoria. De igual manera, tampoco sabemos si el enfoque que hemos realizado es el correcto.

Preveemos que las probabilidades mejorarán en comparación con las probabilidades del problema normal, sin ningún conocimiento sobre cuántas personas han nacido el día i de la semana, aunque no sabemos exactamente cómo será.

Agradeceríamos que si alguien había pensado previamente sobre esta variante, o si decide intentar resolver el problema, nos lo comparta por aquí. Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

Se trata de trabajar con probabilidades condicionadas. Nos definimos una variable aleatoria X="numero de personas con cumpleaños en el dia i" , siendo i un día cualquiera de la semana, por ejemplo lunes. Entonces, la idea es calcular la probabilidad condicionada de que dos personas cumplan años el mismo día en un grupo de n individuos, teniendo en cuenta que  k<=n personas han nacido en lunes (p.ej.).

Destacar que esto reduce tu muestreo a personas que hayan nacido el mismo año; sino, que hayan nacido k personas un lunes, no nos dice nada relevante sobre si hay más probabilidad de que cumplan años dos personas el mismo día o no.

No me queda clara la primera frase; primero parece que dices que te restringes a personas que hayan nacido el mismo año y luego que no.

Esto es vital; de hecho influye de manera decisiva si consideras algún rango de años de nacimiento de las personas o lo pones totalmente libre.

Por ejemplo si sólo consideramos los nacidos en un año, entonces sólo hay \( 52 \) ó \( 53 \) lunes y entonces es más probable que los nacidos en lunes coincidan el mismo día, que si consideramos los \( 365 \) días del año.

Saludos.

[Pp]

Disculpa si no lo he expresado bien.

Como bien dices, me refiero a sólo personas nacidas en un mismo año.

La principal razón de esto es, que si consideramos personas nacidas en años distintos, el hecho que k personas de estas hayan nacido un día en concreto de la semana no nos aporta nada sobre si comparten día de cumpleaños, ya que los días de la semana van cambiando.

Y como bien recalcas, el tener 52 o 53 posibilidades en vez de 365 es por dónde nos interesa tirar.

Saludos y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Disculpa si no lo he expresado bien.

Como bien dices, me refiero a sólo personas nacidas en un mismo año.

La principal razón de esto es, que si consideramos personas nacidas en años distintos, el hecho que k personas de estas hayan nacido un día en concreto de la semana no nos aporta nada sobre si comparten día de cumpleaños, ya que los días de la semana van cambiando.

Y como bien recalcas, el tener 52 o 53 posibilidades en vez de 365 es por dónde nos interesa tirar.

En ese caso imagina que hay \( n \) personas de los cuales exactamente \( k< n \) han nacido un lunes. Suponemos una año de \( 365 \) días y \( 52 \) lunes.

Los que han nacido en lunes tienen \( 52 \) días posibles en los que cumplen años; el resto \( 365-52=313 \).

La probabilidad de que todos hayan nacido días diferentes del año es:

\( q=\dfrac{52\cdot 51\cdot \ldots\cdot (52-k+1)}{52^k}\cdot  \dfrac{313\cdot 312\cdot \ldots\cdot (313-(n-k)+1)}{313^{n-k}} \)

Por tanto la probabilidad de que al menos dos personas hayan nacido el mismo año es \( p=1-q \).

También se podría pensar que sabemos que [te]k[/tex] han nacido el lunes y del resto no sabemos nada (quizá hayan nacido el lunes también). Entonces sería:

\( q=\dfrac{52\cdot 51\cdot \ldots\cdot (52-k+1)}{52^k}\cdot  \dfrac{(365-k)\cdot (365-(k-1))\cdot \ldots\cdot (365-n+1)}{365^{n-k}} \)

Saludos.

[Pp]

Toda la razón, no lo habíamos visto. He calculado las probabilidades de grupos de 2 a 100 personas, suponiendo que la mitad de ellas (parte entera si no es divisible por 2) han nacido un lunes. Efectivamente, la probabilidad aumenta con respecto al problema de los cumpleaños. De hecho, con n=18 ya se supera el 50% de probabilidades.

Sin embargo, esa proporción es bastante irreal. Si vamos a una realista, 1/7, las probabilidades no mejoran. Aún así, es interesante el enfoque.

¡Muchas gracias por tu ayuda!