[pedro diaz]

Estoy considerando la familia \( F_a:R \rightarrow R \), \( F_a(x)=x+a+sin(2\pi x) \) Probé que \( F_a \) es un levantamiento de algún \( f_a \in \operatorname{Homeo}(S_1) \).

Ahora quiero probar que \( h: [0,1] \rightarrow R, \ h(a) = \rho (F_a) \) es continua y monotona.

Considero:
\( \rho (F_a) = lim_{n\rightarrow \infty} (F^n_a(x)-x)/n \)

Quisiera saber si estoy pensando bien.
Considero que \( h \) es continua en \( b, b \in [0;1] \) si \( lim_{a \rightarrow b} h(a) = h(b) \)

Luego

 \( lim_{a \rightarrow b} h(a) = lim_{a\rightarrow b}[lim_{n\rightarrow \infty} (F^n_a(x)-x)/n] = lim_{n\rightarrow \infty}[lim_{a\rightarrow b} (F^n_a(x)-x)/n]= lim_{n\rightarrow \infty} (F^n_b(x)-x)/n] = h(b) \)

Por lo tanto: \( h \) es continua en b.

[EnRlquE]

Hola pedro diaz.

 Lo que haces no está bien porque estás intercambiando los límites cuando \( n\to\infty \) y cuando \( a\to b. \) Esto no siempre se puede hacer, hay ejemplos de funciones continuas \( f_{n} \) que convergen puntualmente a funciones que no son continuas.

 En tu caso concreto no me queda clara la definición de \( h. \) Tenemos que \( h(a)=\rho(F_{a})=\lim_{n\to\infty}\frac{F^{n}_{a}(x)-x}{n}, \) imagino que \( F^{n}(x)=F\big(F^{n-1}(x)\big), \) es decir el súper índice \( n \) indica composición, pero no se cuál es el papel de \( x, \) ¿para cada valor de \( x \) (fijo) se define una función \( h \)? o es que falta algo en la definición de \( h. \)

 Bueno, no se, si nos aclaras esto tal vez podamos ayudarte. Saber el nombre (si es que lo tiene) del proceso que permite crear \( h \) también ayudaría.

Saludos,

Enrique.