[Gonzo]

Hola voy a lanzar un argumento para demostrar que si existiera un contraejemplo (que no lo hay) del último teorema de Fermat (UTF)  las tres bases deberian tener un factor común. Básicamente es lo que establece la Conjetura de Beal. En principio considerar que todas la potencias siguen el siguiente patrón:

\( A^2 = (A-1)(A+1)+1 \)    [Equation 5]
\( A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A \) [Equation 6]
\( A^4 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^2  \)    [Equation 7]
\( A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2}  \)    [Equation 8]

Démonos cuenta que la Ecuación 5 indica que podemos producir potencias de grado 2 sin la necesidad, de que los dos números que producen su suma tengan un factor común. Esto es. 3*5+1=16. Obviamente A=4. Es de destacar que esto solo ocurre con las potencias de grado 2. Porque conforme la Ecuación 6, la suma de los dos términos sí que tendrian que tener un factor común.

Si consideramos el UTF con la siguiente expresión: \( A^y+(A+b)^y=(A+c)^y \).  Entonces aplicamos el desarrollo del triángulo de Pascal en la potencia \( (A+b)^y \). Esto es \( (A^y+y\cdot A^{y-1}\cdot b+\ldots+y\cdot A\cdot b^{y-1}+b^y) \). Entonces es fácil ver que todos los sumandos del desarrollo tienen un factor común excepto b^y. Pero nos encontramos en potencias. Ellas tienen sus reglas. Entonces todas las potencias deben tener conforme la Ecuación 8 un factor común (potencias mayores que tres). Si igualamos \( A^y +(A^y+y\cdot A^{y-1}\cdot b\ldots+y\cdot A\cdot b^{y-1}+b^y) \) a cualquier potencia mayor que dos. Esto es Equación 6, 7 o 8. Entonces despejamos \( b^y \) y obtendremos que b necesariamente debe tener un factor común.  ¿Qué pensais?

[robinlambada]

Hola Gonzo,bienvenido al foro.
Recuerda que debes leer y seguir las nomas del foro.
Te las dejo en el enlace.
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=678.0

Para que las fórmulas se muestren correctamente debes encerrarlas entre etiquetas . A modo de ejemplo. Escribes
[tex] A^2 = (A-1)(A+1)+1 [/tex] y se muestra.

\(   A^2 = (A-1)(A+1)+1 \)

Respecto a tu planteamiento, debo mirarlo con más tiempo. Pero seguro antes te responden personas muy preparadas y competentes en este asunto.

Saludos.

[Willix]

Buenas, Gonzo.
Lo primero es que la conjetura de Beal habla de un factor primo común para \( A^{x} + B^{y} = C^{z} \) y es importante tenerlo en mente para no desplazarse sin querer de una conjetura a otra.

En un punto de tu argumento desarrollas \( (A+b)^{y} \) y ahora, si no me equivoco, por el hecho de que hay un sumando \( b^{y} \) usas como referencia tu ecuación 8.

\( (n_{0}\cdot A^{y} + n_{1} \cdot A^{(y-1)}\cdot b + \cdots + n_{y-1} \cdot A \cdot b^{(y-1)}+ n_{y} \cdot b^{y}) = \)
\( = (A+b)^{y} = \Big( \big((A+b)-1\big)\cdot \big((A+b)+1\big) + 1 \Big) \cdot (A+b)^{y-2} \)
\( = \big((A+b)^{2} + (A+b) - (A+b) - 1 + 1\big) \cdot (A+b)^{y-2} \)

Obviamente, haciendo eso que he puesto no se llega a ninguna parte; pero si no es eso lo que has hecho, no te he entendido.

Entonces todas las potencias deben tener conforme la Ecuación 8 un factor común (potencias mayores que tres). Si igualamos A^y +(A^y+y·A^(y-1)·b+…+y·A·b^(y-1)+b^y) a cualquier potencia mayor que dos (se sobre. Esto es Equación 6, 7 o 8. Entonces despejamos b^y y obtendremos que b necesariamente debe tener un factor común.

El asunto es que en tus ecuaciones (de la 6 a la 8), estás sacando como factor al propio A (lo cual es lógico); pero entonces en \( (A+b)^{y} \) si lo que quieres usar como argumento son tus ecuaciones, debes sacar como factor común \( (A+b)^{y-2} \). Además, \( A^{y} + B^{y} \) no podrás igualarlo a cualquier cosa, sino a \( C^{y} \) que es el supuesto contraejemplo del que se parte.

Básicamente, estamos en este punto:

\( A^{y} + B^{y} = C^{y} \Longrightarrow \)

\( A^{y} + (n_{0}\cdot A^{y} + n_{1} \cdot A^{(y-1)}\cdot b + \cdots + n_{y-1} \cdot A \cdot b^{(y-1)}+ n_{y} \cdot b^{y}) = \)
\( m_{0}\cdot A^{y} + m_{1} \cdot A^{(y-1)}\cdot c + \cdots + m_{y-1} \cdot A \cdot c^{(y-1)}+ m_{y} \cdot c^{y} \)



Básicamente, a partir de ahí me cuesta seguir lo que buscas. En un momento ves A casi como factor común y de ahí pasas a hacer algo con las "b"... No termino de ver tu proceso por tus palabras.

Dicho eso, llega el punto crítico. En toda igualdad se puede añadir o extraer todo factor no nulo que se desee manteniendo la veracidad de la igualdad. ¿En que se traduce eso? En que si querías extraer un factor diferente a \( (A+b)^{y-2} \), podías. Desde el principio podías. Ilustro el caso

\( p \left( \frac{A^{y}}{p} + \frac{B^{y}}{p} \right) = A^{y} + B^{y} = C^{y} = \frac{C^{y}}{p} \cdot p \)

Es decir, lo que planteas es que si \( A^{y}+B^{y}=C^{y} \) entonces puedes extraer un factor común. También si se diera que \( A^{y} + B^{y} \neq C^{y} \) puedes extraerlo. Entonces, ¿cuál es el punto que planteas y que no termino de entender?

EDICIÓN TERMINADA.

[Gonzo]

Lo primero gracias a las respuestas. Seguidamente indicar que no me he expresado bien.

Para empezar indicar que \(  (A+b)^3=A^3+3A^2b+3Ab^2+b^3  \) y de forma general \(  (A+b)^n=A^n+nA^{n-1}b+\ldots+nAb^{n-1}+b^n  \). Esto no es más que el desarrollo de potencias mediante el Triángulo de Pascal. Si vemos la última expresión, todos los sumandos tienen un factor común, excepto b^n.
Willix, cierto que la Conjetura de Beal señala que las tres bases deben tener un factor común primo. Pero, si lo piensas detenidamente, sea el factor común el número que sea, podrá ser primo o no, si no lo es dicho número se podrá descomponer en un productos de números primos. Ejemplo. En este ejemplo \(  70^3 + 105^3 = 35^4  \) el factor común es 35. Obviamente dicho número no es primo. Pero su descomposición, obviamente, si. 7*5. Por lo tanto lo que sea primo o no. Creo que es más importante que sea factor común.
Siguiendo con el mensaje inicial toda expresión de dos potencias puede expresarse con la siguiente expresión \(  (A)^n+(A+b)^n  \) por lo tanto aplicamos el desarrollo comentado del Triángulo de Pascal y obtenemos la siguiente expresión \(  A^y +(A^y+yA^{y-1}b+\ldots+yAb^{y-1}+b^y  \) expresión I, donde todos los sumandos tienen un factor común excepto \(  b^y  \).
¿Hasta aqui de acuerdo?

Toda potencia cumple con la siguiente ecuación \(  A^n = ((A-1)(A+1)+1)A^{n-2}  \) [Equation 8] [II].
Ahora igualamos la expresión I y la expresión II. Y si o si, \(  b^y  \) al despejar dicha variable. Obtenemos una expresión que debe tener un factor común con A. ¿Creéis que el argumento está bien?

[robinlambada]

Hola. Si igualas la expresión I y la II. Obtienes:

(II) \( A^n=A^n+(A+b)^n \) (I) \( \Rightarrow{}\: b=-A   \)

Pero esto no tiene nada que ver con  \( A^{y} + B^{y} = C^{y}   \)

Saludos.

[Willix]

Para empezar indicar que  (A+b)^3=A^3+3A^2b+3Ab^2+b^3  y de forma general  (A+b)^n=A^n+nA^(n-1)b+\ldots+nAb^(n-1)+b^n . Esto no es más que el desarrollo de potencias mediante el Triángulo de Pascal. Si vemos la última expresión, todos los sumandos tienen un factor común, excepto b^n.

Esa parte precisamente era muy clara. Ahí no hay ninguna duda.

En este ejemplo  70^3 + 105^3 = 35^4 ...

El ejemplo de la conjetura de Beal me parece totalmente correcto; pero reincido en el cuidado de no trasponer de una conjetura a otra. Mi sentimiento de precaución no es porque no recordara que todo número compuesto es producto de primos; es por ser cauto y no igualar a algo que haga que tu planteamiento deje de ser el UTF.

Seguimos hacia delante.
I) \( A^{y} + (A+b)^{y} = A^{y} + (n_{0}\cdot A^{y} + n_{1} \cdot A^{(y-1)}\cdot b + \cdots + n_{y-1} \cdot A \cdot b^{(y-1)}+ n_{y} \cdot b^{y}) \),   con \( n_{i} \) los correspondientes coeficientes binomiales.
II) \( (A)^{y} = \big( (A-1) \cdot (A+1) + 1 \big) \cdot (A)^{y-2} \)

Y ahora volvemos a lo que te recalqué en la respuesta anterior.La ecuación I) no lo puedes igualar a cualquier cosa; en particular no la puedes igualar a la que has intentado igualarla. Lo único que se sabe es, por el supuesto contraejemplo, que \( A^{y} + B^{y} = C^{y} \); pero nada de igualar a cualquier potencia de A. Te has salido del UTF.

Dicho eso, llega el punto crítico. En toda igualdad se puede añadir o extraer todo factor no nulo que se desee manteniendo la veracidad de la igualdad. ¿En que se traduce eso? En que si querías extraer un factor diferente a \( (A+b)^{y-2} \), podías. Desde el principio podías. Ilustro el caso

\( p \left( \frac{A^{y}}{p} + \frac{B^{y}}{p} \right) = A^{y} + B^{y} = C^{y} = \frac{C^{y}}{p} \cdot p \)

Lo vuelvo a decir: si de extraer un factor se trataba, lo podrías haber hecho desde el principio. Y el caso se quedaba dentro del UTF:

\( \tilde{A} = \displaystyle \frac{A}{\sqrt[y]{p}} \in \mathbb{R}^{+} \)

\( \tilde{B} = \displaystyle \frac{B}{\sqrt[y]{p}} \in \mathbb{R}^{+} \)

\( \tilde{C} = \displaystyle \frac{C}{\sqrt[y]{p}} \in \mathbb{R}^{+} \)

\( \tilde{A}^{x} + \tilde{B}^{y} = \tilde{C}^{y} \Longleftrightarrow A^{y} + B^{y} = C^{y} \)

[Gonzo]

Chicos mil gracias.  De acuerdo con todo lo dicho.
Imaginemos que la base de II es A* n, pertenece a los N.
Y que la expression I tiene que alcanzar ser potencia. La unica forma es que b tenga un factor comun con A. Cierto?
Entonces hora si. Dejamos libres los exponents, todo ellos son mayores que dos. Y b tiene que tener un factor comun con A. Y obviamente la base de II es i gual a A*n. Este ultimo razonamiento demuestra la Conjetura de Beal?

[Luis Fuentes]

Hola

Chicos mil gracias.  De acuerdo con todo lo dicho.
Imaginemos que la base de II es A* n, [A,n]\in{}N.

Ahí no sé que has querido decir con A*. ¿Es una nueva variable diferente de A?. Si es así no te lies con asteriscos y ponle otro nombre diferente. En otro caso no sé que has querido poner.

Y que la expression I tiene que alcanzar ser potencia. La unica forma es que b tenga un factor comun con A. Cierto?

No. No es cierto. O mejor dicho no está justificado. Esa afirmación es gratuita. Entiendo que afirmas que para que:

\( A^{y} + (A+b)^{y} = A^{y} + (n_{0}\cdot A^{y} + n_{1} \cdot A^{(y-1)}\cdot b + \cdots + n_{y-1} \cdot A \cdot b^{(y-1)}+ n_{y} \cdot b^{y}) \)

sea potencia de un entero, \( A \) y \( b \) tienen que tener un factor común; pero no has dado un sólo argumento que sostenga esa afirmación. Si piensas que si lo has dado, ¿cuál es?.

Saludos.

[feriva]

Hola voy a lanzar un argumento para demostrar que si existiera un contraejemplo (que no lo hay) del último teorema de Fermat (UTF)  las tres bases deberian tener un factor común. Básicamente es lo que establece la Conjetura de Beal.

Conocía desde hace tiempo esta conjetura pero nunca he pensado en ella; me parece difícil de probar. La cuestión está en por qué deberían tener un factor común; y eso, si es así, tendrá que ver con las potencias. Sospecho que tiene que estar relacionada (como supongo que también pasa en el UTF) con el hecho de que 2 es el único primo cuyo natural siguiente es también primo; hay muchos a los que les sigue su gemelo, hay muchos a los que les sigue otro a distancia de cuatro u otra distancia mayor... pero sólo hay un primo al que le sigue otro a una distancia particular sin que ocurra con ninguno más (el que esa distancia sea 1, la distancia mínima, es importante, sin duda, pero el 1 no tiene “tamaño”, no sabemos realmente “dónde está”). Creo que el intento de demostración tendría que usar esa particularidad de una manera “fuerte”, caracterizándola de algún modo; o esta particularidad u otra, alguna que realmente pueda decirnos algo, si no... sólo escribiremos letras que no llegarán a ningún sitio. Y no parece nada fácil.     

Saludos.

[Gonzo]

Expresión I \(  A^x +(A^y+yA^{y-1}b+\ldots+yAb^{y-1}+b^y) \)
Expresión II \(  (nA)^z = ((nA-1)(nA+1)+1)(nA)^(z-2)  \) donde n pertenece a los números enteros positivos.
Si igualamos I y II. Despejamos b. Obtenemos \(  b=((An)^z-Ax)^(1/y)-A  \). Expresión III.
La potencia \(  (A+b)^y  \) . La desarrollo mediante el Triangúlo de Pascal. Que si, es fruto del binomio de Newton con sus coeficientes. Aunque yo me aclaro, me parece más fácil con la óptica establecida con el Triángulo de Pascal. Dicho Triángulo, muestra de forma fácil, que ningún desarrollo de ninguna potencia, sus coeficientes, mantienen por ellos mismos un factor común.  ¿Qué ocurriría si b de la Expresión I adoptara el valor de un número primo. Es decir \(  2^x+(2+5)^y=2^x+(2^y+y2^(y-1)5+\ldots+2\cdot{}5^(y-1)+5^y)  \). Creo que nunca alcanzaría ser una potencia de ningún número entero, no creéis?.

En otras palabras, para que I, sea potencia de números enteros mayores que dos, debería ser igual a II. La variable b, conforme Conjetura de Beal, tiene que ser integra. Por lo tanto si b es un número integro, este deberá tener un factor común con A. Oberservemos Expresión III.

Los números primos son muy interesantes, al igual que la Conjetura de Riemman. Cierto que el 2 y el 3 son los únicos primos que les separa el 1. Pero es lógico, todos los primos son impares, excepto el 2, (si no serian divisibles de dos) por lo tanto no les queda más remedio que crecer a base de números pares. Porque si a un número impar le sumamos 1, automáticamente se convierte en par y ya no es primo.