[Rania]

Hola estaba intentando hacer este ejercicio pero me trabé.

1) Determinar todos los pares $$(x,y)$$ de números enteros que verifican simultáneamente

$$ 10 x + 12y | 8$$      y        $$ 15 x+ 18y|27 $$

No se bien como empezar a plantearlo.

Pensaba en  $$a = 10x+12y $$ , $$b=15x +18y$$

entonces $$ a \in{\{1,2,4,8\}} $$ y $$ b\in{\{1,3,9,27\}} $$ pero no se si conviene empezar así o si sería mejor de otra forma.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola estaba intentando hacer este ejercicio pero me trabé.

1) Determinar todos los pares $$(x,y)$$ de números enteros que verifican simultáneamente

$$ 10 x + 12y | 8$$      y        $$ 15 x+ 18y|27 $$

No se bien como empezar a plantearlo.

Pensaba en  $$a = 10x+12y $$ , $$b=15x +18y$$

entonces $$ a \in{\{1,2,4,8\}} $$ y $$ b\in{\{1,3,9,27\}} $$ pero no se si conviene empezar así o si sería mejor de otra forma.

Pues en primer lugar que ten en cuenta que:

$$ 10 x + 12y | 8\quad \Leftrightarrow{}\quad 5x+6y|4$$
$$ 15 x + 18y | 27\quad \Leftrightarrow{}\quad 5x+6y|9$$

Como \( mcd(4,9)=1 \) se trata de hallar los enteros \( x,y \) tales que:

\( 5x+6y=\pm 1 \)

o equivalentemente \( 5x+6y=1 \) (y luego para cualquier solución \( (x,y) \) te vale también \( (-x,-y) \) (#)).

Aquí tienes la forma general de resolver este tipo de ecuaciones:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=26781.0

En nuestro caso es bastante sencillo a simple vista. Claramente \( (x,y)=(-1,1) \) es solución. Por tanto la solución general es:

\( (x,y)=(-1,1)+k(6,-5) \)

y añadiendo los simétricos según indiqué en (#):

\( (x,y)=\pm(1,-1)+k(6,-5) \)

Saludos.

[Rania]

Hola, gracias por tu respuesta.
En la primera parte

Pues en primer lugar que ten en cuenta que:

$$ 10 x + 12y | 8\quad \Leftrightarrow{}\quad 5x+6y|4$$
$$ 15 x + 18y | 27\quad \Leftrightarrow{}\quad 5x+6y|9$$ 

¿Esto se hace así porque  $$ 2(5x+6y)k = 8 \Leftrightarrow{(5x+6y)k = 4} $$ ?. (De igual forma para la otra condición, $$3(5x+6y)m = 27 \Leftrightarrow{(5x+6y)m=9} $$ ) . Es decir ¿puedo reducir esas ecuaciones dividiendo de ambos lados por 2 y 3 respectivamente, y la expresión que me queda es equivalente a la original?

(Perdón si es algo obvio, es que venía haciendo ejercicios donde no se modificaba al divisor, o el divisor era común a ambos dividendos y con eso utilizaba propiedades de divisibilidad. Me es raro ver al divisor como una ecuación con 2 incógnitas)

Como veo que queda el mismo divisor $$ d = 5x+6y $$ tiene que ser común  pero como $$Div (4) = \pm{}\{1,2,4\}$$ y  $$Div (9) =\pm{} \{1,3,9\}$$ , no tienen en común más que al 1, entonces son coprimos y $$(4:9) = 1 $$

Luego los divisores de 4 y 9 pueden ser -1 y 1 y resuelvo las ec. diofánticas que me quedan.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Esto se hace así porque  $$ 2(5x+6y)k = 8 \Leftrightarrow{(5x+6y)k = 4} $$ ?. (De igual forma para la otra condición, $$3(5x+6y)m = 27 \Leftrightarrow{(5x+6y)m=9} $$ ) . Es decir ¿puedo reducir esas ecuaciones dividiendo de ambos lados por 2 y 3 respectivamente, y la expresión que me queda es equivalente a la original?

Claro que \( a \) sea divisor de \( b \), equivale a que \( a\cdot n \) sea divisor de \( b\cdot n \).

Como veo que queda el mismo divisor $$ d = 5x+6y $$ tiene que ser común  pero como $$Div (4) = \pm{}\{1,2,4\}$$ y  $$Div (9) =\pm{} \{1,3,9\}$$ , no tienen en común más que al 1, entonces son coprimos y $$(4:9) = 1 $$

Luego los divisores de 4 y 9 pueden ser -1 y 1 y resuelvo las ec. diofánticas que me quedan.

Bien.

Saludos.