[Ortega y Gasset]

Buenas,

Tengo un problema de estudio de una función a trozos, que me está dando unos cuantos quebraderos de cabeza, la función a trozos es la siguiente:

\( f(x)=\begin{cases}{\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{sen(x)}}&\text{si}& -\pi < x < 0\\1 & \text{si}& x = 0\\\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2 + 1} - 1}{x} & \text{si}& 0 < x < \pi\end{cases} \)

Se pide:

• Dominio y signo de la función
• Intervalos de crecimiento
• Asíntotas
• Esbozo

He incorporado en el spoiler las conclusiones a las que he llegado.

Spoiler

- El Dominio de la función es \( (-\pi, 0]\cup[0, \pi) \)
x = 0 es un punto crítico de la función que podría generar complicaciones debido a que genera inderterminaciones tanto en la primera y la última función a trozos, pero la función al tener definido que y = 1 cuando x = 0, y las otras no incluye el valor x = 0, estaría incluido en el dominio.
- He comprobado los valores 3, 2, 1, -1, -2, -3 sustituyendo en la función y he obtenido que el signo es siempre positivo para todo el dominio.
- No he conseguido hallar asíntotas para la función, la única que he casi considerado como válida es una asíntota horizontal en y = 1 cuando x tiende a \( + \infty \), pero no estoy seguro de considerarla como válida, debido a que \( + \infty \) está fuera del dominio de la función a trozos, por lo tanto he supuesto que se descartaría, aunque no estoy seguro.
- He hecho el esbozo de la gráfica y verifica que siempre es positiva, pero no sé como insertarla en el post.

[cerrar]

¡Agradezco cualquier ayuda u orientación!

Saludos.

[Fernando Revilla]

- El Dominio de la función es \( (-\pi, 0]\cup[0, \pi) \)

Bien, lo puedes escribir simplemente como \( (-\pi,\pi) \).

x = 0 es un punto crítico de la función que podría generar complicaciones debido a que genera inderterminaciones tanto en la primera y la última función a trozos, pero la función al tener definido que y = 1 cuando x = 0, y las otras no incluye el valor x = 0, estaría incluido en el dominio.

El punto \( x=0 \) es punto de discontinuidad pues puedes verificar aplicando la regla de L'Hopital en ambos lados que \( \displaystyle\lim_{x \to 0^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}f(x)=0\ne f(0) \).

- He comprobado los valores 3, 2, 1, -1, -2, -3 sustituyendo en la función y he obtenido que el signo es siempre positivo para todo el dominio.

Debes demostarlo para todo \( x \) del dominio, para ello compara las conocidas gráficas de \( x \) y \( \sin x \) y que \( \sqrt{x^2+1}-1 \) es obviamente \( >0 \) para \( x\ne 0 \).

- No he conseguido hallar asíntotas para la función, la única que he casi considerado como válida es una asíntota horizontal en y = 1 cuando x tiende a \( + \infty \), pero no estoy seguro de considerarla como válida, debido a que \( + \infty \) está fuera del dominio de la función a trozos, por lo tanto he supuesto que se descartaría, aunque no estoy seguro.

Para las funciones definidas en intervalos finitos no tiene sentido hablar ni de asíntotas horizontales ni de oblicuas. En nuestro caso tampoco hay verticales pues para todo \( x \) del dominio, \( f(x) \) es finito.

[Ortega y Gasset]

- El Dominio de la función es (-π, 0]u[0, π)

Bien, lo puedes escribir simplemente como \( (-\pi,\pi) \).

x = 0 es un punto crítico de la función que podría generar complicaciones debido a que genera inderterminaciones tanto en la primera y la última función a trozos, pero la función al tener definido que y = 1 cuando x = 0, y las otras no incluye el valor x = 0, estaría incluido en el dominio.

El punto \( x=0 \) es punto de discontinuidad pues puedes verificar aplicando la regla de L'Hopital en ambos lados que \( \displaystyle\lim_{x \to 0^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}f(x)=0\ne f(0) \).

- He comprobado los valores 3, 2, 1, -1, -2, -3 sustituyendo en la función y he obtenido que el signo es siempre positivo para todo el dominio.

Debes demostarlo para todo \( x \) del dominio, para ello compara las conocidas gráficas de \( x \) y \( \sin x \) y que \( \sqrt{x^2+1}-1 \) es obviamente \( >0 \) para \( x\ne 0 \).

- No he conseguido hallar asíntotas para la función, la única que he casi considerado como válida es una asíntota horizontal en y = 1 cuando x tiende a \( + \infty \), pero no estoy seguro de considerarla como válida, debido a que \( + \infty \) está fuera del dominio de la función a trozos, por lo tanto he supuesto que se descartaría, aunque no estoy seguro.

Para las funciones definidas en intervalos finitos no tiene sentido hablar ni de asíntotas horizontales ni de oblicuas. En nuestro caso tampoco hay verticales pues para todo \( x \) del dominio, \( f(x) \) es finito.

Gracias por la ayuda Fernando, he entendido tu respuesta a excepción del estudio del signo, desconozco como demostrar el signo de sin dar valores a  \( x \) dentro del dominio de la función a cada trozo correspondiente y determinar el signo de la imagen (como expuse en el post, con -3, -2...), ¿Podrías decirme de que forma es la correcta para demostrarlo?
¿Intuyo que es realizando una inecuación \( > 0 \) para cada trozo?

\( \displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{sen(x)}>0 \)

\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+1}-1}{x}>0 \)

[Luis Fuentes]

Hola

¿Intuyo que es realizando una inecuación \( > 0 \) para cada trozo?

\( \displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{sen(x)}>0 \)

\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+1}-1}{x}>0 \)

Si. Pero simplemente tienes que razonar que son positivas. El segundo es muy directo porque para \( x\in (0,\pi) \), el denominador es positivo y el numerador es positivo porque

\( \sqrt[ ]{x^2+1}-1>\sqrt[ ]{1}-1\geq 0 \)

Para el primero ten en cuenta que para \( x\in [-\pi,0) \)

\( 0>sin(x)>x \)

Por tanto:

\( -sin(x)<-x \)

\( \dfrac{-1}{sin(x)}>\dfrac{-1}{x} \)

\( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{sin(x)}>0 \)

Saludos.

[Ortega y Gasset]

Gracias por la ayuda, tanto a usted como a Fernando. He terminado el análisis de la función y me gustaría verificar con otra persona los resultados del estudio de la monotonía que he obtenido si no es mucha molestia (posibles extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento) al hacer la primera derivada, obtengo:

\( f'(x)=\begin{cases}{\displaystyle\frac{cos(x)}{sin^2(x)} - \displaystyle\frac{1}{x^2}}&\text{si}& -\pi < x < 0\\\displaystyle\frac{-1+\sqrt[ ]{x^2+1}}{x^2*\sqrt[ ]{x^2+1}} & \text{si}& 0 < x < \pi\end{cases} \)

Al realizar la derivada, he descartado el trozo de \( y = 1 \) si \( x = 0 \), debido a que he estudiado la continuidad de la función en ese punto y he concluido que no es contínua como Fernando mencionó ayer, ergo no derivable.

Al estudiar los extremos relativos, he igualado ambas partes de la función a 0, para el primer trozo no hay solución, por lo tanto no existe extremos relativos, para el segundo trozo, he conseguido \( x=0 \) pero como está fuera de \( 0 < x < \pi \) he descartado el extremo, finalmente he estudiado su crecimiento y he obtenido que la función es decreciente en el intervalo \( (-\pi, 0) \) y creciente en \( (0, \pi) \)

Es correcto.

[Fernando Revilla]

    Lo siento Ortega y Gasset, escribí equivocadamente sobre tu propio mensaje. No creo que haya eliminado nada esencial. Confirmo que es correcto lo que dices.

[Ortega y Gasset]

    Lo siento Ortega y Gasset, escribí equivocadamente sobre tu propio mensaje. No creo que haya eliminado nada esencial. Confirmo que es correcto lo que dices.

No hay problema, está como lo recuerdo! de nuevo, gracias por vuestra ayuda