[javoros]

Buenas tardes,

He estado tratando de validar estas dos afirmaciones pero ya me he trabado:

Sean  \(  X,Y,X_1,X_2,X_3,···:  \) \(   Ω \rightarrow R  \) variables aleatorias.  Pruebe las siguientes afirmaciones.

a)  Si \( X_n ≤ Y \) c.s.  para todo \( n≥1 \) y \(  X_n\rightarrow X  \) c.s.  entonces \( X≤Y  \)  c.s.
b)  Si \( X_n ≤ Y \)  c.s.  para todo \(  n≥1 \)  y  \( X_n\rightarrow X  \) en probabilidad entonces \( X≤Y  \)  c.s.

[Masacroso]

Buenas tardes,

He estado tratando de validar estas dos afirmaciones pero ya me he trabado:

Sean  \(  X,Y,X_1,X_2,X_3,···:  \) \(   Ω \rightarrow R  \) variables aleatorias.  Pruebe las siguientes afirmaciones.

a)  Si \( X_n ≤ Y \) c.s.  para todo \( n≥1 \) y \(  X_n\rightarrow X  \) c.s.  entonces \( X≤Y  \)  c.s.
b)  Si \( X_n ≤ Y \)  c.s.  para todo \(  n≥1 \)  y  \( X_n\rightarrow X  \) en probabilidad entonces \( X≤Y  \)  c.s.

Para la parte a) observa que si \( X_n\leqslant Y \) casi seguro para cada \( n \) entonces existe un conjunto de medida nula \( N_n \) tal que \( X_n\leqslant Y \) en \( N_n^\complement  \). Si defines \( N:=\bigcup_{k\in \mathbb N }N_k \) tienes que \( N \) es también de medida nula y \( X_n\leqslant Y \) para todo \( n\in \mathbb N  \) en \( N^\complement  \), de donde se sigue el resultado casi inmediatamente.

Para b): si \( X_n\to X \) en probabilidad entonces existe una subsucesión de \( X_n \) que converge a \( X \) casi seguro, y por tanto usando el resultado en a) se sigue éste.

[javoros]

Muchas gracias!!! Con esto ya puedo continuar!