Hola
tu razonamiento es falso y en especial la frase 'no hay ninguna matriz de números reales para la cual la matriz dada sea solución fundamental del sistema' Por otra parte, si operamos como ha indicado Abdulai habría que comprobar antes que la matriz que dan es una matriz fundamental canónica.
No hay problema, voy a ampliarlo y así puedes concretar donde ves el error.
1) Dado un sistema de ecuaciones diferenciales \( X(t)=A(t)X'(t) \) una matriz fundamental \( F(t) \) es una matriz verificando la ecuación del sistema y tal que \( F(t) \) es no singular.
2) Supongamos que la matriz del sistema es constante, es decir, \( A(t)=A \).
3) Entonces una matriz \( F(t) \) fundamental ha de verificar:
\( F'(t)=AF(t) \) para todo \( t\in \Bbb R \)
4) En particular para \( t=0 \):
\( F'(0)=AF(0)\quad \Rightarrow{}\quad A=F'(0)F(0)^{-1} \)
5) En otras palabras si \( F(t) \) es matriz fundamental y \( A(t)=A \) es constante NECESARIAMENTE: \( A=F'(0)F(0)^{-1} \)
6) Por tanto, si con la matriz \( A \) calculada en (5) no se cumple que \( F'(t)=AF(t) \) o equivalentemente que \( F'(t)-AF(t)=0 \) para todo \( t\in \Bbb R \), entonces no existe ninguna matriz de números reales \( A \) para la cual \( F(t) \) es matriz fundamental del sistema \( X'(t)=AX(t) \).
Todo esto además de motivar mi afirmación, también motiva el método de Abdulai para resolver el problema. Previamente Bobby Fischer ya apunta que ha comprobado que \( det(F(t))\neq 0 \).
En cuanto a interpretar que el enunciado ya presupone que \( A \) es una matriz de números reales (constante que no depende de \( t \)) me parece razonable, entre otras cosas, porque en otro caso como tu mismo has apuntado, la matriz siempre sería fundamental sin más que tomar \( A=F'(t)F(t)^{-1} \).
Saludos.