¿Cómo se calcula la matriz inversa de $$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$? (La acabo de hacer a mano con $$M^{-1}=\frac{1}{\det M}\text{Adj}(M^t)$$)
Una manera cómoda de hacerlo en algunos casos (no sé si en éste; es cómodo en especial si se tiene calculado en el polinomio característico) es usar el teorema de Cayley-Hamilton (toda matriz verifica su polinomio característico)
Si, por ejemplo
\( A^{3}+A^{2}+A+I=[0]
\)
multiplicando por \( A^{-1}
\)
\( A^{2}+A+I+A^{-1}=[0]
\)
\( A^{-1}=-A^{2}-A-I
\)
Saludos.
En efecto es una buena idea.
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¿Cómo se calcula la matriz inversa de $$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$? (La acabo de hacer a mano con $$M^{-1}=\frac{1}{\det M}\text{Adj}(M^t)$$)
Pero no hace falta invertir la función completa, con el valor en 0 es suficiente.
$$x(0) = \begin{bmatrix} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ , $$\dfrac{dx}{dt}(0) = \begin{bmatrix} 0& -10& 6 \\ -4& -4& 0\\ 0& 2& 2 \end{bmatrix}$$
$$A = \dfrac{dx}{dt}(0)\cdot inv(x(0)) = \begin{bmatrix} 0& -10& 6 \\ -4& -4& 0\\ 0& 2& 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 2& -5& 0\\ 1& -2& -3\\ 0& 1& 2 \end{bmatrix} $$
Queda el paso final de comprobar si $$A$$ verifica $$x' -Ax=0$$
Es curioso el rodeo que he dado.
Además de que pasé por alto que $$F\in C^1(I,\mathcal{L}(\mathbb{R^n})$$ es matriz fundamental de solución de $$\dot{x}=Ax$$ si y sólo si $$\det(F)\neq 0 \land F'=AF$$.
Mi razonamiento debería haber sido: Sea $$F\in C^1(I,\mathcal{L}(\mathbb{R^n})$$ dada. Tenemos $$\det(F)\neq 0$$, luego existe la inversa de $$F$$ para todo $$t\in I$$.
Para que sea matriz fundamental, debe cumplirse $$F'=AF$$, que se cumple si y sólo si $$A=F'(t)F^{-1}(t)\;(\forall t)$$. Calculando $$F'(t)$$ y $$F^{-1}(t)$$ y multiplicando, obtenemos $$A$$,
que podría ser una función de $$t$$. Lo que ocurre es que si $$A$$ es constante, entonces $$A(t)$$ es la misma para todo $$t$$.
Me pregunto si del enunciado del ejercicio podía deducirse que $$A$$ era constante.