Hola.
Sean \( c_1 \) y \( c_2 \) dos cónicas dadas. Demostrar que los polos de las rectas tangentes a \( c_1 \) con respecto a \( c_2 \) están sobre una tercera cónica.
En el dibujo las cónicas \( c_1 \) y \( c_2 \) vienen definidas a partir de cinco de sus puntos, \( X_1,...,X_5 \) para \( c_1 \) y \( Y_1,...,Y_5 \) para \( c_2 \). Consideremos dos rectas tangentes cualesquiera a \( c1 \) en \( A_1 \) y \( A_2 \), que llamaremos \( t_1 \) y \( t_2 \), y sus polos con respecto a \( c_2 \), que llamaremos \( Z_1 \) y \( Z_2 \) respectivamente. Sea \( I \) la intersección de ambas rectas. Consideremos la aplicación \( F \) que dada una recta que pasa por \( Z_1 \) nos devuelve una que pasa por \( Z_2 \) dada por la composición de las tres aplicaciones biyectivas siguientes:
\( f \): la aplicación que dada una recta que pasa por \( Z_1 \) nos devuelve su polo con respecto a \( c_2 \). Dado que \( Z_1 \) es el polo de \( t_1 \) esta última recta es el conjunto imagen de \( f \). La razón doble de cuatro rectas que pasen por \( Z_1 \) coincide con la de sus imágenes por \( f \).
\( g \): la aplicación que dado un punto \( P_1 \) de \( t_1 \) nos devuelve un punto \( P_2 \) de \( t_2 \) tal que \( P_1P_2 \) es tangente a \( c_1 \) y tal que:
\( g(P)=\begin{cases}{I}&\text{si}& P=A_1\\A_2 & \text{si}& P=I\end{cases} \)
y \( g(P)\neq I \) en otro caso
Por el teorema de Chasles, la aplicación \( g \) es una homografía y, por tanto, conserva la razón doble.
\( h \): la aplicación que dado un punto \( P_2 \) de \( t_2 \) nos devuelve su polar con respecto a \( c_2 \). Dado que \( Z_2 \) es el polo de \( t_2 \) el conjunto imagen de \( h \) es el haz de rectas que pasan por \( Z_2 \). La razón doble de cuatro puntos de \( t_2 \) coincide con las de sus imágenes por \( h \).
Como \( F \) es composición de tres biyecciones que conservan la razón doble, entonces es una homografía. Además, por el teorema de Steiner, el lugar definido por los puntos de intersección de las rectas que pasa por \( Z_1 \) con sus respectivas imágenes por \( F \) es una cónica \( c \) (en rojo en el dibujo). Además dada una tangente \( t_3 \) cualquiera a \( c_1 \) que corte a \( t_1 \) en \( P_1 \) y a \( t_2 \) en \( P_2 \) se cumplirá que el polo de \( t_3 \) con respecto a \( c_2 \) está en \( f^{-1}(P_1) \) y también en \( h(P_2) \), por lo que, al ser intersección de una recta que pasa por \( Z_1 \) con su imagen por \( F \), se hallará sobre \( c \).
Un saludo.
