Hola UNKNOW. Lo primero que hay que aclarar es la definición de Figura Convexa, y luego ver si los conjuntos que mencionas la complen. Me voy a basar en la definición de
Conjunto Convexo de Wikipedia. Se dice que un conjunto \( L \) es convexo cuando para todos \( a,b\in L \) y para todo \( t\in [0,1] \) se cumple \( (1-t)a+tb\in L \).
Para el caso de la recta, \( L=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y=mx+b\} \) donde \( m \) y \( b \) son dados. Ahora veamos que satisface la definición.
- Tomamos dos elementos genéricos del conjunto \( L \), \( (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in L \), esto es,
\( y_1=mx_1+b \) (*)
\( y_2=mx_2+b \) (**)
- Debemos verificar que \( (1-t)(x_1,y_1)+t(x_2,y_2)\in L \).
- Observamos que
\( (1-t)(x_1,y_1)+t(x_2,y_2)=(\textcolor{brown}{(1-t)x_1+tx_2},\textcolor{blue}{(1-t)y_1+ty_2}) \)
Se sigue de (*) y (**) que
\( \textcolor{blue}{(1-t)y_1+ty_2}=(1-t)(mx_1+b)+t(mx_2+b) \)
\( =m(\textcolor{brown}{(1-t)x_1+tx_2)}+b \)
y por tanto el punto \( (\textcolor{brown}{(1-t)x_1+tx_2},\textcolor{blue}{(1-t)y_1+ty_2}) \) satisface la ecuación de la recta \( y=mx+b \), por lo que
\( ((1-t)x_1+tx_2,(1-t)y_1+ty_2)\in L \)
lo que finaliza la demostración.
__________________________________________________
Obs:
- Quizás haya una forma más corta de demostrar el resultado, pero como ves, no es difícil de probar a partir de la definición.
- Es evidente que si la recta, o plano... pasan por el origen, entonces son conjuntos convexos (porque son subespacios vectoriales).
