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Mensajes - mathman

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1
Gracias por tu respuesta, Luis. Sí, veo que sus soluciones son satisfactorias y no son inconsistentes con los datos del número de adquisidores del resto de promociones.  :aplauso:


2
Hola, Richard. Me ha ayudado, muchas gracias.

3
Citar
Un almacén muestra a sus clientes las siguientes promociones (ver la tabla 1).

Tabla 1:

Promociones           Precio
--------------------------------------
Promoción 1            $250000
Promoción 2            $200000
Promoción 3            $220000
Promoción 4            $150000

Además, tienen un programa de descuento sobre el total del valor adquirido, en el que, al tomar dos promociones se obtiene un 10% de descuento adicional, y al tomar tres promociones o más, se obtiene un descuento adicional del 20%. En la tabla 2 se muestra la cantidad de personas que adquieren las promociones en un fin de semana.

Tabla 2:

Promoción           Cantidad de personas adquisidoras
-----------------------------------------------------------------------
Promoción 1         12
Promoción 2         15
Promoción 3         10
Promoción 4         13

El administrador del almacén ve la cantidad de ventas de la promoción 2, y quiere saber la cantidad mínima de dinero que podría recibir el almacén por dicha promoción. ¿Qué cálculo debe realizar el administrador para conocer este valor?

A. \( 200000 \cdot 0.8 \)
B. \( 15\cdot 200000\cdot 0.8 \)
C. \( 12\cdot 200000\cdot 0.9+15\cdot 250000 \cdot 0.8 \)
D. \( 12\cdot 250000\cdot 0.8+15\cdot 200000\cdot 0.8+10\cdot 220000\cdot 0.8 \)

Quiero resolver este problema pero estoy confundido: me dicen que debo enfocarme en la cantidad de personas que adquirieron la Promoción 2 (15) y que de acuerdo con esto debo calcular el valor mínimo que puede recibir el almacén por esta promoción. Tengo las siguientes dudas sobre la interpretación de este problema.

  • ¿Debo asumir que todas las personas que adquirieron la Promoción 2 son compradores únicos (es decir, no aplican los descuentos ni de 10% ni 20%) o lo opuesto, debo asumir que todos los compradores adquirieron tres o más promociones para alcanzar el descuento mayor y así llegar a un valor "verdaderamente mínimo"?
  • Si debo asumir que los 15 son compradores únicos entonces me parece que \( 15\cdot 200000 \) resuelve el problema, pero esta solución no está entre las opciones disponibles, aunque en una toman el 80% de esta cantidad.
  • Si debo asumir que los 15 no son compradores únicos entonces debo analizar varios casos. Supongamos que todos adquirieron 3 o más promociones, lo que les otorga el mayor descuento, pero no estoy seguro de que esto ayude a obtener el valor menor. Me cuesta entender las respuestas que me dan porque no he resuelto estas dudas.

Agradezco mucho su ayuda.

4
Entendido, gracias. Estoy muy oxidado.  :banghead:

5
Gracias, Fernando. Entonces la respuesta es

\(
\csc{x} \cdot \big[1+\sen{(1+\int^x_2{\csc{u}}\ du)}\big] = \csc{x} \cdot \big[1+\sen{\big(1-\log{|\cot{x}+\csc{x}|}+\log{|\cot{(2)}+\csc{(2)}|}\big)}\big].
 \)

Edición: puse las barras de valor absoluto y quité la constante de integración.

6
Me piden diferenciar esta función:

\(
g(x)=\int^{\int^{x}_{2}{\csc{(u)}\ du}}_{1}{\big[1+\sen{(1+t)\big]}}\ dt.
 \)

Para diferenciarla uso esta variación de la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo:

\(
\frac{d}{dx}\int^{u(x)}_{a}{f(t)}\ dt=u'(x)f\big[u(x)\big].
 \)

Y al aplicarla obtengo lo siguiente:

\(
\frac{d}{dx}\int^{\int^{x}_{2}{\csc{(u)}\ du}}_{1}{\big[1+\sen{(1+t)\big]}}\ dt = \frac{d}{dx}\int^{x}_{2}{\csc{(u)}}\ du \cdot \big[1+\sen{(1+\int^x_2{\csc{(u)}}\ du)}\big] = \csc{(x)} \cdot \big[1+\sen{(1+\int^x_2{\csc{(u)}}\ du)}\big].
 \)

¿Es esto una respuesta correcta y satisfactoria?

7
Gracias por la observación, Robin.

8
Cita de: Problema
En una fábrica se examinan cada hora las piezas producidas por una máquina una a una hasta obtener una defectuosa. Si esto no se logra la máquina continúa su producción. Caso contrario se detiene el proceso para examinar la causa del defecto. Sea la variable aleatoria que cuenta el número de piezas examinadas hasta obtener la defectuosa. En este caso el recorrido es el conjunto de los números naturales. Si es la función de cuantía o de masa asociada a \( X \) definida por

\(
f_x(i) = 0.6(0.4)^{i-1},\quad\forall i \in \mathbb{N}
 \)

  • ¿Cuál es la probabilidad de que se interrumpa el proceso al examinar la 5º pieza?
  • ¿Cuál es la probabilidad de que se interrumpa el proceso al examinar más de 3 piezas?

Solución.

  • \( P(X=5)=f_i(5)=0.6(0.4)^{5-1}=\frac{48}{3125} \).

  • Sea \( A \) el evento \( X>3 \), luego

    \( P(A) = P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+\cdots \)
    \( \qquad\ =(0.6)(0.4)^{4-1}+(0.6)(0.4)^{5-1}+(0.6)(0.4)^{6-1}+\cdots \)
    \( \qquad\ =
    (0.6)\cdot\sum_{i=1}^{\infty}{(0.4)^{(i+3)-1}} \)
    \( \qquad\ =(0.8)(0.4)^2\cdot\sum_{i=1}^{\infty}{(0.4)^{i}} \)
    \( \qquad\ =\frac{16}{125}\cdot\frac{-0.4}{0.4-1} \)
    \( \qquad\ =\frac{32}{375} \).
    \( \square \)
Agradezco correcciones y sugerencias para mejorar.

9
Teoría de números / Re: Documentales para recomendar
« en: 02 Octubre, 2020, 05:44 pm »
He visto los siguientes en inglés o con subtitulos en inglés.

Relacionado a esto, actualmente estoy leyendo la autobiografía de Paul Feyerabend, Killing Time; es bastante interesante y corta (se puede conseguir en http://libgen.rs/book/index.php?md5=79ED770403B76455A7CAE151C03A80D6).

10
Muchas gracias, Luis. Ya lo corregí.

11
Cita de: Problema
Se lanza una serie de cohetes hasta que se obtiene el primer lanzamiento exitoso. Si esto no se logra, el experimento continúa, caso contrario se detiene. Sea \( X \) la variable aleatoria discreta que cuenta el número de lanzamientos hasta obtener el primer éxito. En este caso el recorrido de la variable aleatoria \( X \) es el conjunto de los números naturales. Si \( f_x \) es la función de cuantía o de masa asociada a \( X \) definida por:

\(
f_x(i) = K(0.2)^{i-1},\quad\forall i \in \mathbb{N}
 \)

  • determine el valor de \( K \),
  • determinar la probabilidad de detener el experimento cuando el número de lanzamientos sea múltiplo de 3,
  • determinar la probabilidad de detener el experimento cuando el número de lanzamientos sea mayor que 5.

Solución.

Recordemos que \( R_x=\{1, 2, 3, \ldots{}\}=\mathbb{N} \).

  • \( 1\ =\sum_{i=1}^{\infty}{f_x(i)} \)
    \( \ \ \ =\sum_{i=1}^{\infty}{K(0.2)^{i-1}} \)
    \( \ \ \ =K(0.2)^{-1}\cdot\sum_{i=1}^{\infty}{(0.2)^{i}} \)
    \( \ \ \ =K(0.2)^{-1}\cdot\frac{-0.2}{0.2-1} \)
    \( \ \ \ =(1.25)K \)
    \( \ \ \ \Rightarrow \)
    \( K=\frac{1}{1.25}=0.8 \).

  • Sea \( A \) el evento \( X \) es múltiplo de 3. Luego,

    \( P(A) = P(X=3)+P(X=6)+P(X=9)+\cdots \)
    \( \qquad\ = (0.8)(0.2)^{3-1}+(0.8)(0.2)^{6-1}+(0.8)(0.2)^{9-1}+\cdots \)
    \( \qquad\ =(0.8)\cdot\sum_{i=1}^{\infty}{(0.2)^{3i-1}} \)
    \( \qquad\ =(0.8)(0.2)^{-1}\cdot\sum_{i=1}^{\infty}{(0.2)^{3i}} \)
    \( \qquad\ =4\cdot\frac{-(0.2)^3}{(0.2)^3-1} \)
    \( \qquad\ =4\cdot\frac{1}{124} \)
    \( \qquad\ =\frac{4}{124} \).

  • Sea \( B \) el evento \( X>5 \), luego

    \( P(B) = P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+\cdots \)
    \( \qquad\ =(0.8)\cdot\sum_{i=1}^{\infty}{(0.2)^{(i+5)-1}} \)
    \( \qquad\ =(0.8)(0.2)^4\cdot\sum_{i=1}^{\infty}{(0.2)^{i}} \)
    \( \qquad\ =\frac{4}{3125}\cdot\frac{-0.2}{0.2-1} \)
    \( \qquad\ =\frac{1}{3125} \).
    \( \square \)
Agradezco correcciones y sugerencias para mejorar.

Edición: Corregí la errata señalada por Luis Fuentes.

12
Hola, Masacroso. Efectivamente, confundí la definición de \( E \). Gracias.

13
Foro general / Re: Humor matemático.
« en: 30 Septiembre, 2020, 05:14 am »
¿Cuál es la diferencia entre un matemático introvertido y uno extrovertido?

Un matemático introvertido mira sus zapatos cuando le están hablando. Uno extrovertido mira los de la otra persona.







 :laugh:
 :aplauso:

14
Cita de: Problema
Considere si la siguiente persona que compre una computadora en una librería universitaria comprará un modelo portátil o uno de escritorio. Sea

\(
   X=
   \begin{cases}
   0, & \text{si compra un computador de escritorio}\\
   1, & \text{si compra un computador portatil.}\\
   \end{cases}
 \)
Si el 25% de todas las compras durante esa semana seleccionan una portátil,

  • determine la función de probabilidad de \( X \),
  • obtenga su función de distribución,
  • determine e interprete \( E(X) \) y \( V(X) \).

Solución.

  • Del enunciado tenemos \( R_x = \{0, 1\} \), \( P(X = 0) = 0.75 \) y \( P(X = 1) = 0.25 \). Luego, podemos definir la función de probabilidad de la siguiente forma:

    \(
       f_x(x)=
       \begin{cases}
       0.75, & \text{si } x=0\\
       0.25, & \text{si } x=1\\
       0, & \text{si } x\neq 0 \text{ y } x\neq 1.
       \end{cases}
     \)
  • Sea \( x\in \mathbb{R} \), entonces

    • \( x<0: F_x(x) = P(X\leq x) = P(\emptyset)=0 \).
    • \( 0\leq x < 1: F_x(x) = P(X\leq x) = P(\emptyset) + P(X = 0) = 0 + 0.75 = 0.75 \).
    • \( x\geq 1: F_x(x) = P(X\leq x) = P(\emptyset) + P(X = 0) + P(X = 1) = 0 + 0.75 + 0.25 = 1 \).

    Así, la función distribución es
    \(
    F_x(x)=
    \begin{cases}
    0, & \text{si } x<0\\
    0.75, & \text{si } 0\leq x < 1\\
    1, & \text{si } x\geq 1.
    \end{cases}
     \)

  • Calculamos el valor esperado de la variable original y la variable al cuadrado:

    \( E(X) = 0\cdot 0.75 + 1\cdot 0.25 = 0.25 \),
    \( E(X^2) = 0^2\cdot 0.75 + 1^2\cdot 0.25 = 0.25 \),
    y con esto calculamos la varianza,

    \( V(X) = E(X^2)- [E(X)]^2 = 0.25 - (0.25)^2 = 0.1875. \)

    El valor esperado \( E(X) \) representa la cantidad media que se obtiene como resultado de contar el número de portátiles de la siguiente compra cuando el suceso se repite un elevado número de veces, y la varianza representa la dispersión de los valores de la variable aleatoria \( X \) respecto al valor esperado \( E(X) \).
    \( \square \)
Agradezco las correcciones y sugerencias para mejorar.

Edición: corregí los signos en el cálculo de los valores esperados que Masacroso señaló.

15
Foro general / Re: ¿Cómo llegaste a rincón matemático?
« en: 20 Septiembre, 2020, 12:30 am »
Buscaba ayuda con un problema básico de cálculo integral en 2016 y decidí buscar un foro en español, Rincón Matemático fue la primera entrada del buscador al poner "foro de matemáticas", desde entonces lo he usado ocasionalmente para resolver mis propias dudas. A veces también uso math.stackexchange.com.

Este foro tiene grandes usuarios (ya conocidos por todos los regulares). Ellos son un ejemplo para mi, puesto que me gustaría contribuir ayudando a otras personas directamente como se ha hecho conmigo.

La base de usuarios reconocibles y activos en este foro, y su formato más libre, me hace preferirlo a algo más impersonal como Stack Exchange (que además solo admite inglés, que no es mi primer lenguaje).

16
De nuevo, muchas gracias por tu aporte, ingmarov. También me sirve seguidamente en el curso, cuando toquemos mapas de Karnaugh.  :D :aplauso:

17
Álgebra / Álgebra booleana: simplificar \(S\) = \((A'+B)(C+A)(C+B)\)
« en: 19 Septiembre, 2020, 10:49 am »
Cita de: Problema
Simplificar la expresión de álgebra booleana \( S=(A'+B)(C+A)(C+B) \).

Solución 1.

\( S=(A'+B)(C+A)(C+B) \)
\( \ \ \ =[(A'+B)C+(A'+B)A](C+B) \)
\( \ \ \ =(A'C+BC+BA)(C+B) \)
\( \ \ \ =A'C(C+B)+BC(C+B)+BA(C+B) \)
\( \ \ \ =A'C+A'CB+BC+BC+BAC+BA \)
\( \ \ \ =A'C(1+B)+BC+BA(C+1) \)
\( \ \ \ =A'C(1)+BC+BA(1) \)
\( \ \ \ =A'C+BC+BA \)
\( \ \ \ =(A'+B)C+(A'+B)A \)
\( \ \ \ =(A'+B)(C+A) \).
\( \square \)

Quiero simplificar la expresión aún más. Sé que \( S=A'C+BA \) (1) pero no sé cómo probarlo usando las reglas del álgebra de boole. ¿Alguna pista?

Edición: Tras operar con notación de conjuntos, que se me hace más cómoda (no tiene más ventaja), llegué a una solución de unos cuantos pasos a partir de (1):

Solución 2.

\( S=(A'+B)(C+A)(C+B) \)
\( \ \ \ =[(A'+B)(C+B)][(1)(C+A)] \)
\( \ \ \ =(A'C+B)[(A'+A)(C+A)] \)
\( \ \ \ =(A'C+B)(A'C+A) \)
\( \ \ \ =A'C+BA \)
\( \square \)

Era aplicar la ley distributiva pero "de manera inversa".

18
Gracias, ingmarov. Dentro de poco aprenderé mapas de Karnaugh y revisaré tu respuesta nuevamente.

19
Se utiliza la notación que está en la segunda columna de esta tabla.

Cita de: Problema
Simplificar la expresión de álgebra booleana \( S=ABC+ABC'+AB'C'+A'B'C+AB'C \).

Solución.

\( S =ABC+ABC'+AB'C'+A'B'C+AB'C \)
\( \ \ \ =AB(C+C')+AB'C'+B'C(A'+A) \)
\( \ \ \ =AB(1)+AB'C'+B'C(1) \)
\( \ \ \ =AB+AB'C'+B'C \)
\( \ \ \ =A(B+B'C')+B'C \)
\( \ \ \ =A(B+B')(B+C')+B'C \)
\( \ \ \ =A(1)(B+C')+B'C \)
\( \ \ \ =A(B+C')+B'C \)
\( \ \ \ =(A+B'C)[(B+C')+B'C] \)
\( \ \ \ =(A+B'C)[(B+B'C)+C'] \)
\( \ \ \ =(A+B'C)[(B+B')(B+C)+C'] \)
\( \ \ \ =(A+B'C)[(1)(B+C)+C'] \)
\( \ \ \ =(A+B'C)[B+C+C'] \)
\( \ \ \ =(A+B'C)[B+1] \)
\( \ \ \ =(A+B'C)(1) \)
\( \ \ \ =A+B'C \).
\( \square \)

Qué puedo mejorar.

20
Gracias, geómetracat. No sé nada de estadística, mientras aprendo más teoría tu respuesta me ayuda a encontrar el buen camino. Saludos.

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