Buenas a todos.
Veréis, tengo que hallar la constante Lipschitz o demostrar que no existe para diferentes casos.
Y por boba que es la definición, no la entiendo, o sea, no sé trabajar con ella. Pongo dos ejemplos:
(1) Ejercicio hecho por el profe:
\( f(x,y)=1+y^2 \) Dominio: \( \mathbb{R^2} \)
Para que sea lipschitziana:
\( |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq{K}|y_1-y_2| \) Entonces sustituye:
\( |(1+y_1^2)-(1+y_2^2)|=|y_1^2-y_2^2|\leq{K}|y_1-y_2| \)
Luego:
\( |y_1^2-y_2^2|=|y_1-y_2||y_1+y_2|\leq{K}|y_1-y_2| \) Entonces:
Para cierto \( K>0 \) y \( \forall{(x,y_1),(x,y_2)}\in{\mathbb{R^2}} \) \( |y_1+y_2|\leq{K} \)
Y pone que es absurdo, pero mi pregunta es: ¿No se supone que ha encontrado un \( K \)? ¿Por qué es absurdo?
(2) Y luego he intentado hacer yo un ejercicio pero no sé como continuar
\( f(x)=\sqrt[ 3]{x} \), \( x\in{[-1,1]} \)
Yo sé que por definición:
\( f(x) \) es lipschitziana si \( \exists{L}>0: |f(x)-f(y)|\leq{L|x-y|} \) \( \forall{x,y}\in{[-1,1]} \)
Yo hago lo siguiente:
Defino:
\( f(x)=\sqrt[ 3]{x} \), \( f(y)=\sqrt[ 3]{y} \) Entonces:
\( |f(x)-f(y)|=|\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}| \)
Y suponemos que:
\( |\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}|\leq{K|x-y|} \)
Sabemos que:
\( \sqrt[ 3]{x}\leq{|1|} \) y \( \sqrt[ 3]{y}\leq{|1|} \)
Luego:
\( |\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}|\leq{2}\leq{K|x-y|} \)
Por tanto:
\( \frac{2}{|x-y|}\leq{K} \)
Y aquí concluí que sería lipschitz, pero viendo el ejemplo del profesor pues supongo que no lo es xD Así que si alguien me ayuda le estaré eternamente agradecido D:
