Hola ! Estoy intentando demostrar lo siguiente: Si \( f \) es inyectiva, \( f:X\rightarrow Y \), y \( Y \) es finito, ¿podrían ayudarme a determinar si \( X \) también es finito con este enfoque o si es necesario utilizar otro método?
Supongamos por contradicción que \( X \) es infinito. Entonces, hay una secuencia infinita de elementos en \( X \), digamos \( x_1, x_2, x_3, \ldots \).
Intento:
Dado que \( f: X \rightarrow Y \) es una función inyectiva y \( Y \) es finito, queremos demostrar que \( X \) es finito.
La definición de una función inyectiva establece que si \( f(x) = f(y) \) para dos elementos \( x, y \) en el dominio de \( f \), entonces \( x = y \).
Ahora, supongamos por contradicción que \( X \) es infinito. Esto significa que \( X \) contiene una cantidad infinita de elementos. Denotemos estos elementos como \( x_1, x_2, x_3, \ldots \).
Dado que \( f \) es inyectiva, cada elemento en \( X \) se asigna a un único elemento en \( Y \). Por lo tanto, tenemos una secuencia de elementos distintos en \( Y \), digamos \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots \).
Como \( Y \) es finito, solo puede contener un número finito de elementos distintos. Denotemos este número finito como \( n \). Entonces, \( Y \) contiene \( n \) elementos distintos, digamos \( y_1, y_2, \ldots, y_n \).
Dado que \( f \) es una función, cada elemento \( x_i \) en \( X \) tiene una imagen \( f(x_i) \) en \( Y \). Pero como \( X \) es infinito, la secuencia \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots \) también sería infinita. Esto implicaría que habría más de \( n \) elementos distintos en \( Y \), lo cual es una contradicción, ya que \( Y \) tiene exactamente \( n \) elementos distintos.
Por lo tanto, nuestra suposición inicial de que \( X \) es infinito debe ser falsa. Entonces, concluimos que \( X \) es finito.
Saludos
