[matesmarcos]

Buenas noches,
Estoy intentando hacer el siguiente ejercicio:
Sea \( (X, \tau) \) un espacio topológico compacto. Si, para cada \( n \in \Bbb N - \{0\} \), \( C_n \) es un subconjunto cerrado no vacío que satisface \( C_{n+1} \subseteq C_n \), demuestra que \( \bigcap_{n=1}^{\infty} C_n \neq \emptyset \).

No entiendo en qué momento aplicar la hipótesis de compacidad, si consideramos la familia \( \{ C_n \}_{n \in \Bbb N - \{0\}} \) ésta es de cerrados encajados, es decir, si \( C_2 \subseteq C_1 \Rightarrow C_2 \cap C_1 = C_2 \neq \emptyset \), y así sucesivamente, ¿no?

Por otro lado estaba pensando que quizás el ejercicio pretende que considere la familia de abiertos \( \{X - C_n \}_{n \in \Bbb N - \{0\}} \), que cumplirá \( X - C_n \subseteq X-C_{n+1} \), si para cada \( n \) el abierto \( X-C_{n+1} \) digamos que es "más grande", haciendo tender \( n \rightarrow \infty \) tendríamos que se recubre todo \( X \) y se podría aplicar la hipótesis de compacidad. Sin embargo, si tienes un subrecubrimiento finito de esos abiertos, su unión va a ser todo \( X \), pero si "deshaces" eso con los complementarios te saldría una intersección finita que sería vacía, ¿no?
 
Lo siento porque me estoy explicando fatal y seguro que no estoy razonando bien las cosas. Si me podéis clarificar un poco las ideas lo agradezco mucho 

[ancape]

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No entiendo en qué momento aplicar la hipótesis de compacidad, si consideramos la familia \( \{ C_n \}_{n \in \Bbb N - \{0\}} \) ésta es de cerrados encajados, es decir, si \( C_2 \subseteq C_1 \Rightarrow C_2 \cap C_1 = C_2 \neq \emptyset \), y así sucesivamente, ¿no?
.....

Creo que la extensión de "sucesivamente" al caso infinito no es correcta. Por ejemplo 1+1/2>0, 1/2+1/3>0,....,1/n+1/(n+1)>0,.....Según tú (y el razonamiento "sucesivamente") la sucesión 1/n si tiene límite este debe ser >0.

Saludos

[Carlos Ivorra]

Si supones que \( \bigcap\limits_{n=0}^\infty C_n=\emptyset \), de ahí deduces que \( X = X\setminus \emptyset = X\setminus \bigcap\limits_{n=0}^\infty C_n = \bigcup\limits_{n=0}^\infty(X\setminus C_n) \), es decir, sólo si supones que la intersección completa es vacía, tienes que los complementarios forman un cubrimiento, y entonces extraes un subcubrimiento finito, digamos

\( X = (X\setminus C_{n_1})\cup \cdots \cup (X\setminus C_{n_r}) \)

y de ahí, volviendo atrás, tienes que

\( C_{n_1}\cap \cdots \cap C_{n_r}= \emptyset \),

pero si \( n_r \) es el mayor índice, como la sucesión es decreciente, eso es lo mismo que \( C_{n_r}= \emptyset \), y tienes una contradicción.

[geómetracat]

Sea \( (X, \tau) \) un espacio topológico compacto. Si, para cada \( n \in \Bbb N - \{0\} \), \( C_n \) es un subconjunto cerrado no vacío que satisface \( C_{n+1} \subseteq C_n \), demuestra que \( \bigcap_{n=1}^{\infty} C_n \neq \emptyset \).

No entiendo en qué momento aplicar la hipótesis de compacidad, si consideramos la familia \( \{ C_n \}_{n \in \Bbb N - \{0\}} \) ésta es de cerrados encajados, es decir, si \( C_2 \subseteq C_1 \Rightarrow C_2 \cap C_1 = C_2 \neq \emptyset \), y así sucesivamente, ¿no?

Por completar el tema, la condición de compacidad es necesaria. Un contraejemplo en espacios no compactos es \( X=\Bbb R \) con la topología usual y \( C_n=[n,+\infty) \).

[ani_pascual]

Hola:

...
Si me podéis clarificar un poco las ideas lo agradezco mucho 

Otra aportación equivalente a las ya apuntadas 
Creo recordar que una de las caracterizaciones de un espacio topológico compacto es que cualquier familia de cerrados no vacíos que cumpla la P.I.F. (Propiedad de Intersección Finita) tiene intersección no vacía; así pues, como \( \{C_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es una familia de cerrados con la P.I.F., ya que \( C_{n_1}\cap\cdots\cap C_{n_p}=C_k\neq\emptyset \) siendo \( k=\max\limits_{1\leq j\leq p}\{n_j\} \),  se tiene que \( \bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}C_n\neq \emptyset \)
Saludos

[matesmarcos]

Ah, vale, creo que he entendido por qué se llega a una contradicción, si me pongo ahora a escribirlo seguro que termino de comprenderlo todo.

Creo recordar que una de las caracterizaciones de un espacio topológico compacto es que cualquier familia de cerrados no vacíos que cumpla la P.I.F. (Propiedad de Intersección Finita) tiene intersección no vacía

Vaya, no conocía esa caracterización, definitivamente la voy a incluir en mis apuntes, muchas gracias   

Un contraejemplo en espacios no compactos es \( X=\Bbb R \) con la topología usual y \( C_n=[n,+\infty) \).

¿Eso sería porque a medida que vas intersecando intervalos de la familia, te vas quedando cada vez con números más grandes y "te vas acercando" hacia la derecha a \( +  \infty \)? Quiero decir, si haces la intersección infinita de eso, ¿te irías acercando a algo así como \( (+\infty, +\infty) \) y eso es vacío? Disculpa si son preguntas mal expresadas, es que siempre me cuestan bastante las uniones/intersecciones numerables.

[Juan Pablo Sancho]

Si \( C_n = [n , + \infty)  \) dado \( x \in \mathbb{R}  \) tienes que existe \( n_x \in \mathbb{N}  \) con \( n_x > x \) luego \( x \notin C_{n_x}  \)
Además para cada \(  n \in \mathbb{N}  \) tenemos que \( \displaystyle ]-\infty , n[ \cap C_n = \emptyset   \)