Sea \( X \) un conjunto
Dedekind-infinito dado.
Fijado un elemento \( z\in X \), el conjunto \( \{z\} \) es Dedekind-finito, y además es subconjunto de \( X \).
Dado cualquier subconjunto
Dedekind-finito \( F \) de \( X \), es claro que \( X\setminus F \) es no vacío, porque si no, \( X \) sería
Dedekind-finito.
Luego, existe algún \( x\in X\setminus F \).
El conjunto \( F'=F\cup \{x\} \) es subconjunto de \( X \) y es
Dedekind-finito.
Porque si fuese
Dedekind-infinito, habría una biyección \( f \) con un subconjunto propio \( G \) de \( F' \).
Si \( G\subset F \), entonces quitando el elemento \( f^{-1}(x) \) obtenemos una biyección entre \( F \) y un subconjunto propio de \( F \), absurdo.
En cambio, si \( x\in G \), tomando un \( z\in F'\setminus G \), nos queda que \( z\in F\setminus G \), pues \( z\neq x \), y la aplicación \( g:G\to F \), \( g(a) = a, a\neq x, g(x) = z \) es una biyección, lo cual nos permite hallar un subconjunto propio de \( F \) biyectivo con \( F \), absurdo otra vez.
Así que la clase \( \mathcal S_F \) de todos los conjuntos de la forma \( F\cup \{x\} \) para \( x\in X\setminus F \) es no vacía, y además consta de conjuntos
Dedekind-finitos.
Se puede probar fácilmente que todos los elementos de \( \mathcal S_F \) son biyectivos entre sí.
Definamos la relación de equivalencia \( \apporx \) entre subconjuntos de \( X \)
Dedekind-finitos mediante:
\( F\approx G \) si y sólo si existen \( F'\in \mathcal S_F,G'\in \mathcal S_G \) tales que \( F',G' \) son biyectivos entre sí.
Por la observación anterior, si esto ocurre, todos los elementos de \( \mathcal S_F \) serán biyectivos con todos los de \( \mathcal S_G \).
Si ahora \( \mathcal C \) denota la clase de todos los subconjuntos
Dedekind-finitos de \( X \),
tenemos que \( \approx \) induce una partición de \( \mathcal C \) en clases de equivalencia, como es usual.
Esto es fácil, faltando sólo comprobar el sencillo hecho de que \( \approx \)
es una relación de equivalencia.
Denotemos con \( [F] \) la clase de equivalencia asociada a \( F \).
Se puede demostrar que, si \( x\not\in F \), entonces \( F'=F\cup \{x\} \), y así todo elemento de \( S_F \) pertenece a la clase \( [F'] \). En símbolos:
\( \mathcal S_F\subset [F'] \)
Más aún, la unión de todos los conjuntos \( S_E \) tales que \( E\approx F \) coincide con la clase \( [F'] \).
Definamos ahora la operación
sucesor en la familia de las clases de equivalencia, así:
\( s([F])=[F'] \)
donde \( F'\in S_F \). En particular podemos decir algo como: \( \mathcal S_F\subset s(F) \), lo cual nos permite asociar claramente a un conjunto \( F \) "todos sus siguientes".
Recordemos que nuestro impedimento de no poder echar mano del
Axioma de Elección no nos deja "elegir" uno solo de los "siguientes conjuntos" de \( F \).
Es por eso que no nos queda más remedio que trabajar con todos ellos.
La colección de clases de equivalencia se denota, como es usual, mediante \( \mathcal C/\approx \). Simple notación: prohíbido asustarse. Más aún, es un subconjunto de "partes de partes de \( X \)". En símbolos:
\( \mathcal C/\approx\subset \mathcal P(\mathcal P(X)). \)
Definamos ahora la noción de
familia inductiva en el conjunto \( \mathcal P(\mathcal P(X)) \).
Decimos que un conjunto \( \mathcal J\subset \mathcal P(\mathcal P(X)) \) es una
familia inductiva, si cumple los siguientes requisitos:
- Todo elemento de \( \mathcal J \) es una de las clases de equivalencia \( [F] \), para algún \( F\subset X \) Dedekind-finito.
(Esta condición la pido sólo para que la demostración no sea demasiado engorrosa).
- La clase \( [\emptyset ] \) está en \( \mathcal J \), o sea: \( [\emptyset ]\in\mathcal J \).
- Si \( [F]\in\mathcal J \), entonces el "siguiente" también está: \( s([F])\in \mathcal J \).
Es claro que \( \mathcal C/\approx \) es ella misma una
familia inductiva.
Pero es posible que haya subconjuntos de esa familia que aún sean inductivas.
Esta posibilidad nos impide demostrar que en \( \mathcal C/\approx \) vale un
Principio de Inducción.
Así que busquemos la "mínima" subfamilia inductiva, y verifiquemos que esa es la que nos sirve.
Para ellos, denotamos con \( \mathcal U \) al conjunto de todas las
familias inductivas.
(Para entender en qué "país" vive ese conjunto, notemos que \( \mathcal U\subset \mathcal P(\mathcal P(\mathcal P(X))) \))
Como \( \mathcal U\neq \emptyset \), la intersección de todos los conjuntos que pertenecen a \( \mathcal U \) está bien definido, o sea, existe un conjunto
\( \mathcal N=\bigcap\{\mathcal J:\mathcal J\in \mathcal U\} \).
Es fácil verificar que \( \mathcal N \) es también una
familia inductiva.
Además, dada cualquier otra
familia inductiva \( \mathcal U\subset \mathcal N \), se tiene necesariamente, por la intersección involucarada en la definición de \( \mathcal N \), que \( \mathcal N\subset \mathcal U \), y esto implica que
\( \mathcal U=\mathcal N. \)
¡Pero esto es el
Principio de Inducción relativo a la terna \( (\mathcal N,s,[\emptyset ]) \)!
Se obtiene entonces que \( (\mathcal N, s, [\emptyset ] ) \) es un
sistema simplemente infinito, o sea, un
sistema de números naturales.
Así que hemos probado nuestra Proposición auxiliar:
existe un sistema \( \mathcal N \) de números naturales con sólo suponer que existe un conjunto infinito.Ese conjunto aún no es subconjunto de \( X \).
Es tan sólo un conjunto números naturales que construimos "por ahí" (en realidad es subconjunto de "partes de partes de \( X \)").
