Muy buenas. Me encuentro estudiando la resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Fourier y tengo algunas dudas.

Es sabido que, para cualquier función \( f\in L^2 \), la ecuación \( (I-\Delta)u=f \) tiene una única solución en el espacio de Sobolev \( H^2=\left\{u\in L^2: \mathcal{F}^{-1}((1+|\xi|^2)\widehat{u}(\xi))\in L^2\right\} \). (Todo esto en \( \mathbb{R} \))

Mi pregunta es: si tengo la ecuación \( \partial u=f \) con \( f\in L^2 \),  como la ecuación es equivalente a \( \mathcal{F}^{-1}(i\xi \widehat{u}(\xi))=f \) con \( \xi\in\mathbb{R} \), entonces \( u=\mathcal{F}^{-1}(\frac{1}{i\xi}\widehat{u}(\xi)) \), es decir, \( u \) está en el espacio \( H:=\left\{u\in L^2: \mathcal{F}^{-1}(i\xi\widehat{u}(\xi))\in  L^2\right\} \). ¿Es esto correcto?  ¿o el hecho que el símbolo \( \frac{1}{\xi} \) explote en \( \xi=0 \) hace que esto no tenga sentido?

Si \( g\in L^2 \). ¿Cuándo es posible asegurar que un producto \( fg \) está en \( L^2 \)?

Sólo veo que si \( f\in L^{\infty} \) entonces \( fg\in L^2 \) pero no sé que más casos podría haber.

Hola. Me encuentro estudiando el concepto de pushforward del texto "una introducción a variedades suaves" del autor Lee J. (versión 2012). Específicamente, la Proposición que estoy viendo es la siguiente:

Proposición 8.19. Sea \( M,\, N \) variedades suaves con o sin frontera, y \( F:M\to N  \) un difeomorfismo. Para cada \( X \) campo vectorial suave sobre \( M \), existe un único campo vectorial suave \( N \) que es \( F \)-relacionado a \( X \).

Dicha proposición, entrega la siguiente fórmula que permite calcular el único campo mencionado:

$$Y_q=dF_{F^{-1}(q)}(X_{F^{-1}(q)}) $$

Lo anterior, permite definir el concepto de pushforward.

Definición. \( F_*X \) se denomina el pushforward de \( X \) por \( F \). Más aún,

$$(F_* X)_q=dF_{F^{-1}(q)}(X_{F^{-1}(q)})$$

Luego, se menciona un ejemplo explícito donde se calcula un pushforward (ejemplo 8.20 en el texto)

En mi caso, me gustaría calcular el pushforward de la aplicación exponencial. He hecho algunos cálculos y obtengo lo siguiente:

Sea \( F:\mathbb{R}\to ]0,\infty[ \) definido por \( F(t)=\mathrm{e}^t \)

Consideremos los campos \( X_t=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t}\in T_{t}(\mathbb{R}) \) y \( \left.\frac{d}{ds}\right|_{s}\in T_{s}(]0,\infty[) \).

(Pregunta 1. Es \( \left.\frac{d}{ds}\right|_{s} \) la base canónica del espacio tangente \( T_{s}(]0,\infty[) \)?)

 En este caso, $$dF_t=F'(t)=\mathrm{e}^{t}\text{ and } F^{-1}(s)=\ln(s).$$

Entonces, $$dF_{F^{-1}(s)}=\mathrm{e}^{F^{-1}(s)}=\mathrm{e}^{\ln(s)}=s,$$

y,

$$X_{F^{-1}(s)}=\left.\frac{d}{dt}\right|_{\ln(s)}=1\cdot \left.\frac{d}{dt}\right|_{\ln(s)}.$$

Por lo tanto, por la "fórmula",

$$(F_{*}\frac{d}{dt})_{s}=s\cdot 1\cdot \left.\frac{d}{dt}\right|_{\ln(s)}$$

Pero, en lo anterior, no sé como puedo dejar todo en la base \( \left.\frac{d}{ds}\right|_{s} \) (análogo al ejemplo que dá el libro)

En particular, si \( u(s)=t^3 \),

$$(F_{*}\frac{d}{dt})_{s}(t^3)=s\left.\frac{dt^3}{ds}\right|_{\ln(s)}=s\left.(3t^2)\right|_{\ln(s)}=3s(\ln(s))^2$$

¿Está correcto?
Muchas gracias.

Actualización. Ya lo he entendido con la ecuación (3.9) del mismo texto.

$$(F_*\frac{d}{dt})_{s}=\frac{dF}{dt}(F^{-1}(s))\left.\frac{d}{ds}\right|_{s}=e^{F^{-1}(s)}\left.\frac{d}{ds}\right|_{s}=s\left.\frac{d}{ds}\right|_{s}$$

Hola. Estoy estudiando algunos resultados del libro "One-parameter semigroups for linear evolution equations" de los autores Nagel y Engel.
La proposición en donde estoy algo estancado es la siguiente:

Prop. 1.7. Sea \( (A,D(A)) \) el generador de un semigrupo fuertemente continuo \( (T(t))_{t\geq 0} \) sobre un espacio de Banach \( X \). Un subespacio \( D \) de \( D(A) \) que es \( \left\|\cdot\right\| \)-denso en \( X \) e invariante bajo el semigrupo\(  (T(t))_{t\geq 0} \) es siempre un core para \( A \).

Dem. Para todo \( x\in D(A) \) se puede encontrar una sucesión \( (x_n)_n\subset D \) tal que \( \lim_n x_n=x \). Debido a que para cada n, la aplicación \( s\mapsto T(s)x_n\in D \) es continua para la norma del gráfico \( \left\|\cdot\right\|_{A} \) (use (1.5)), se sigue que \( \int_{0}^{t}T(s)xn\,ds \), como integral de Riemann, pertenece a la \( \left\|\cdot\right\|_{A} \)-clausura de \( D \). Similarmente, la \( \left\|\cdot\right\|_{A} \)-continuidad de \( s\mapsto T(s)x \) para \( x\in D(A) \) implica que
\( \left\|\frac{1}{t}\int_{0}^{t}T(s)x\,ds-x\right\|_{A}\to 0 \) cuando\(  t\to 0 \) y
\( \left\|\frac{1}{t}\int_{0}^{t}T(s)x_n\,ds-\frac{1}{t}\int_{0}^{t}T(s)x\,ds\right\|_{A}\to 0 \) cuando \( n\to \infty  \)y para cada \( t>0. \)
Esto prueba que para todo \( \epsilon>0 \) existe \( t>0  \)y \( n\in\mathbb{N} \) tal que
\( \left\|\frac{1}{t}\int_{0}^{t}T(s)x_n\,ds-x\right\|_{A}<\epsilon \).
Por lo tanto, \( x\in \overline{D}^{\left\|\cdot\right\|_{A}} \).

Pregunta 1. ¿Por qué \( s\mapsto T(s)x_n \) es continua con la norma del gráfico?
No logro entender la continuidad con dicha norma. Por lo que veo, para la continuidad con dicha norma se debería probar que  \( \lim_{s\to t}\left\|T(s)x_n-T(t)x_n\right\|_{A}=0 \) pero no estoy seguro.

Pregunta 2. ¿Por qué la integral de Riemann pertenece a la \( \left\|\cdot\right\|_{A} \)-clausura de D? ¿Es un resultado estandar?

pd: La ecuación 1.5 que se menciona es la siguiente:
Si \( x\in D(A) \) entonces \( T(t)x\in D(A) \) y además se cumple ((1.5)) \( \frac{d}{dt} T(t)x=T(t)Ax=AT(t)x,\quad t\geq 0. \)

Actualización. Ya acabo de probar que pregunta 1. La pregunta 2 me está quedando pendiente.

Sea \( X \) e \( Y \) espacios de Banach, \( A:D(A)\subset X\to Y \) operador lineal con \( D(A) \) denso en \( X \) e \( y\in Y \). Sea \( x\in X \) una solución débil de  \( Ax=y \), es decir, \( (x,A^*y')=(y,y') \) para todo \( y'\in Y^*  \)donde \( A^*:D(A^*)\subset Y^*\to X^* \) es la adjunta de \( A \). El dominio es \( D(A^*)=\left\{y'\in Y^*:\exists x'\in X^*: y'(Ax)=x'(x)\forall x\in D(A)\right\} \)

Mi pregunta es: ¿si \( x\in D(A) \) entonces \( Ax=y? \)

Mi intento: \( x\in X \) solución débil entonces \( (x,A^*y')=(y,y') \) para todo \( y'\in Y^*. \)
La adjunta de  \( A^* \) implica que \( (x,A^*y')=(Ax,y') \) para todo \( x\in D(A),\, y'\in D(A^*). \)
Por lo tanto, \( (Ax,y')=(y,y') \) para todo \( x\in D(A),\, y'\in D(A^*) \). Equivalentemente, \( y'(Ax-y)=0 \) para todo \( x\in D(A),\, y'\in D(A^*). \) Desde aquí, ¿se puede concluir que \( Ax=y \)?

Muy buenas. Estoy tratando de entender a cabalidad el concepto de solución débil para la ecuación de Laplace. He visto que se afirma lo siguiente en un libro.
En el contexto de \( \mathbb{R}^n \).
\( u\in L^2 \) es una solución débil para la ecuación de Laplace si y sólo si \( u\in W^{1,2} \) y \( (u,\Delta\varphi)=0 \) para todo \( \varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty} \) (es decir, \( u \) es una solución distribucional para la ecuación de Laplace). (tal afirmación aparece en el libro  Problems on partial differential equations de los autores Maciej Borodzik, Paweł Goldstein, Piotr Rybka, Anna Zatorska-Goldstein.

Tengo una dirección:

Sea \( u\in W^{1,2} \) y  \( (u,\Delta\varphi)=0,\quad \varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty} \). Usaremos el hecho que el operador \( \Delta \) es autoadjunto sobre \( W^{1,2} \), es decir, \( \Delta=\Delta^{*} \) sobre \( W^{1,2} \) y también que, para \( v \in D(\Delta^{*}) \), existe \( \left\{\varphi_k\right\}_{k}\subset\mathcal{C}_{0}^{\infty}: \varphi_k\to v \) en \( L^2. \) Entonces
\( \begin{align}
|(u,\Delta^{*}v)|&\leq |(u,\Delta^{*}v)-(u,\Delta\varphi_k)|+|(u,\Delta\varphi_k)|\\
&=|(\Delta u,v)-(\Delta^* u, \varphi_k)|\\
&=|(\Delta u,v)-(\Delta u,\varphi_k)|\\
&=|(\Delta u,v-\varphi_k)|\\
&\leq \left\|\Delta u\right\|_{2}\left\|v-\varphi_k\right\|_{2}\\
&\to 0
\end{align} \)
(acá se puede ver que se necesita que \( \Delta u\in L^2 \) y el hecho que \( u\in W^{1,2} \) permite asegurar esto)
Por lo tanto, \( (u,\Delta^{*}v)=0 \) para todo \( v\in D(\Delta^*). \) Por definición, $u$ es una solución débil.

Inversamente no sé probarlo. Sé que si \( u \) es solución débil entonces \( (u,\Delta^*v)=(0,v)=0 \) para todo \( v\in D(\Delta^*) \), pero, no sé como probar que \( u\in W^{1,2} \) ni tampoco la otra condición. (Es decir, probar que \( \Delta u\in L^2 \) y que también \( (u,\Delta\varphi)=0 \) para todo \( \varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty}). \) ¿Cómo probar esta dirección?

Actualización. Ya he probado que \( (u,\Delta\varphi)=0 \) para todo \( \varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty} \). En efecto, como \( \varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty} \) entonces \( \Delta\varphi\in L^2 \). Luego, \( (\varphi,\Delta u)=(\Delta^{*}\varphi,u) \) para todo \( u\in D(\Delta) \). Esto es equivalente a decir que \( \varphi\in D(\Delta^{*}) \). Además \( \Delta \varphi \in L^2 \), es decir, por definición, \( u\in W^{1,2} \), luego, \( \Delta\varphi=\Delta^{*}\varphi \) pues\(  \Delta \) es autoadjunto sobre \( W^{1,2} \). Por lo tanto,  \( (u,\Delta\varphi)=(u,\Delta^{*}\varphi)=0 \). Con esto obtengo la condición que u es una solución distribucional para la ecuación de Laplace.

Pero aún no logro ver: ¿Por qué \( u\in W^{1,2} \)?

Hola. Me encuentro estudiando el concepto de solución débil pero no logro entenderlo del todo. Estoy tratando de ver su definición en un contexto abstracto y he encontrado la siguiente definición en
 https://core.ac.uk/download/pdf/82101335.pdf cuya definición de solución débil es la siguiente:

Definición. Sea \( L \) operador lineal en \( X \), \( y\in X \).El elemento \( x \) se denomina  solución débil de la ecuación
\begin{align}
    Lx=y
\end{align}
si existe \( \left\{x_k\right\}\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) en \( X \), \( Lx_k\to y \) en \( X \).

En general, si \( L:D(L)\subset X\to Y \) ¿la definición de solución débil es la siguiente?

Definición 1. Sea \( L:D(L)\subset X\to Y \) operador lineal. Sea \( y\in Y \). El elemento \( x \) se denomina solución débil de la ecuación \begin{align}
    Lx=y
\end{align}
si existe \( \left\{x_k\right\}\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) en \( X \), \( Lx_k\to y \) en \( Y \).

Otra definición de solución débil es la siguiente:

Definición 2. Sea \( L:D(L)\subset X\to Y \) operador lineal. Sea \( y\in Y \). el elemento \( x \) se denomina solución débil de la ecuación
\( Lx=y \)
si
\( (x,L^*z)=(y,z),\quad z\in D(L^*) \)

Pregunta. ¿Las definiciones 1 y 2 son equivalentes?

 He probado que la definición 1 implica la definición 2 con una desigualdad análoga a la de Holder en la siguiente proposición.

Proposición. La definición 1 es equivalente a la definición 2.

Dem. Sea \( \left\{x_k\right\}\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) en \( X \), \( Lx_k\to y \) en \( Y \). Entonces, para cualquier \( z\in D(L^*) \) (Recordemos que \( L^*:D(L^*)\subset Y^*\to X^* \)),
 \begin{align}
|(x,L^*z)-(y,z)|&=|(x,L^*z)-(x_k,L^*z)+(x_k,L^*z)-(y,z)|\\
&\leq |(x,L^*z)-(x_k,L^*z)|+|(x_k,L^*z)-(y,z)|\\
&=|(x,L^*z)-(x_k,L^*z)|+|(L x_k,z)-(y,z)|\\
&=|(x-x_k,L^*z)|+|(L x_k-y,z)|\\
&\leq \left\|x-x_k\right\|_{X} \left\|L^*z\right\|_{X^*}+\left\|L x_k-y\right\|_{Y} \left\| z\right\|_{Y^*}\\
&\to 0.
 \end{align}
(la última desigualdad no sé si es cierta... la estimación es análoga a la Desigualdad de Holder con espacios abstractos \( X,\, Y \))

Por lo tanto, \( (x,L^*z)=(y,z),\quad z\in D(L^*) \). Se concluye que la definición 2 implica la definición 1.

Inversamente, supongamos que
\begin{align}
    (x,L^*z)=(y,z),\quad z\in D(L^*)
\end{align}

Como \( x\in X \) y \( D(L) \) es denso en \( X \), existe \( \left\{x_k\right\}_{k}\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) en \( X \). Por definición de adjunta,
\begin{align}
    (w,L^*z)=(Lw,z),\quad w\in D(L),\, z\in D(L^*).
\end{align}
Como \( x_k \in D(L) \),
\begin{align}
    (x_k,L^*z)=(Lx_k,z),\quad z\in D(L^*).
\end{align}
Por lo tanto,
\begin{align}
    (Lx_k,z)=(y,z),\quad z\in D(L^*).
\end{align}
se sigue que \( Lx_k=y \)?, luego, \( Lx_k\to y \) en \( Y \) (ya que de hecho \( Lx_k=y \) pero no creo que esté correcta esta parte).
 

Algunas dudas:

 Pregunta 1. En principio, ¿el elemento \( x \) está en \( X \)?
 
 Pregunta 2 En ambas definiciones, ¿\( D(L) \) debe ser denso en  \( X \)? (Esta pregunta está relacionada con la primera pues si \( x \) está en \( X \) y \( D(L) \) es denso en \( X \), existirá una sucesión  \( \left\{x_k\right\}_k\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) in \( X \) y bastaría probar que también \( Lx_k\to y \) en \( Y \) para probar que la definición 1 implica la definición 2. (lo cual pruebo en la proposición pero no estoy seguro que mi demostración esté correcta).

Actualización. Ya me convencí que el \(  x\in X \) en principio y además se necesita que \( D(L) \) sea denso en \( X \) para que la adjunta esté bien definida (de manera única).

Mi demostración de Definición 2 implica 1 está incorrecta. Lo correcto es lo siguiente:

Definición 2 implica definición 1.
Demostración. Sea \( x\in X \) solución débil de \( Lx=y \), es decir, \( (x,L^*z)=(y,z) \) para todo \( z\in D(L^*) \). Como \( D(L) \) es denso en \( X \), existe \( \left\{x_k\right\}_k\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) en \( X \). Quiero probar que \( Lx_k\to y \) en \( Y \) para concluir.

Como \( x_k\in D(L) \), por definición de adjunta,
\( (x_k,L^*z)=(Lx_k,z),\quad \forall z\in D(L^*) \).

Como \( x_k\to x \) en \( X \) entonces \( (x_k,L^*z)\to (x,L^*z)=(y,z) \), es decir, \( (Lx_k,z)=(x_k,L^*z)\to (y,z) \) para todo \( z\in D(L^*) \). (esto me imagino que es cierto pero no estoy seguro)

A partir de que \( (Lx_k,z)\to (y,z) \) para todo \( z\in D(L^*) \), ¿cómo se puede concluir de lo anterior que \(  Lx_k\to y \) en \( Y \) ?



     

Hola. ¿Cuál es la definición de adjunta formal?
En el libro  An introduction to the pseudo differential operators por el autor Wong. Sea \( \sigma\in S^m \) y \( T_{\sigma}:\mathcal{S}\subset L^p\to L^p \) el operador pseudo-diferencial asociado con el símbolo  \( \sigma \). Entonces \( T_{\sigma}^{*} \) es la adjunta formal si
\( (T_{\sigma}\varphi,\psi)=(\varphi,T_{\sigma}^{*}\psi),\quad \varphi,\psi\in\mathcal{S} \).

Pregunta 1. ¿\( T_{\sigma}^*:D(T_{\sigma}^*)\subset (L^p)^*\to (L^p)^* \)? (donde \( (L^p)^* \) es el dual de \( L^p. \))

Pregunta 2. Sea \( X,Y \) espacios de Banach. En general, si \( A:D(A)\subset X\to Y \) es un operador lineal. Entonces la adjunta formal es \( A^*:D(A^*)\subset Y^*\to X^*  \)con \( (A\varphi,\psi)=(\varphi,A^*\psi),\quad \varphi\in D(A),\, \psi\in D(A^{*}) \)?

¿Por qué un operador invariante bajo traslación \( T \) sobre \( \mathbb{R}^n  \) puede ser representado por un operador de multiplicación sobre la transformada de Fourier? Más precisamente, si \( T \) actúa sobre funciones de \( x \) (funciones adecuadas). ¿Por qué \( T(e^{2\pi i x\cdot \xi})=a(\xi)e^{2\pi i x\cdot \xi} \)
para cada \( \xi\in\mathbb{R}^n \).? Esto lo acabo de ver en el libro de análisis armónico del autor Stein. Adjunto imagen para mayor claridad.

 

Sé que si un operador es invariante bajo traslación, se puede representar por \( Tu(x)=\mathcal{F}^{-1}(a(\xi)\widehat{u}(\xi))(x)  \) pero no sé si esto implica lo que pregunté inicialmente. (Intenté hacer el cálculo sin éxito)

Me complica un poco el hecho que \( e^{ix\cdot \xi} \) tenga dos variables, siendo que el operador \( T \) actúa sobre funciones de x. Entiendo que el \( \xi \) está fijo pero esto me confunde con la variable de la transformada de Fourier.

Hola. He estado estudiando el concepto de resolvente y me ha surgido una duda.

En el contexto de \( \mathbb{R} \). Es natural tener que la resolvente para el operador de Laplace \( A:=\partial_{x}^2 \) sea \( R(\lambda,A)u=\mathcal{F}^{-1}((\lambda+\xi^2)^{-1}\widehat{u}) \) puesto que \( L(\lambda,A)\circ R(\lambda,A)u=u=R(\lambda,A)\circ L(\lambda,A)u \) donde \( L(\lambda,A)u=\mathcal{F}((\lambda+\xi^2)\widehat{u}) \) con \( u \) una función adecuada (por ejemplo, una función de Schwartz).

Pero ahora si el operador es \(  A=x^2\partial_{x}^2 \), es decir, un operador con coeficiente variable, por lo que veo todo se complica pues no se tiene una representación mediante la transformada de Fourier:
\( \begin{align}(\lambda-x^2\partial_{x}^2)u(x)&=\int e^{ix\xi}(\lambda+x^2\xi^2)\widehat{u}(\xi)d\xi\\
&=\int e^{ix\xi}\lambda \widehat{u}(\xi)d\xi+\int e^{ix\xi}x^2\xi^2\widehat{u}(\xi)d\xi\\
&=\lambda u(x)+x^2\mathcal{F}^{-1}(\xi^2\widehat{u}(\xi))(x)
\end{align}
 \)
y no sé si lo siguiente para el operador resolvente es válido:
\( \begin{align}(\lambda-A)^{-1}u(x)=\int \mathrm{e}^{ix\xi}(\lambda+x^2\xi^2)^{-1}\widehat{u}(\xi)d\xi
\end{align} \)

¿Cómo se procede o cuál es la técnica para encontrar la resolvente para un operador de esa forma?