[Sintesis]

Buenas, tenia que hacer esta demostración y pensé en hacerla por inducción, pero no estoy seguro de si es valido? O como podría hacerla

Sean \( a,b\in{\mathbb{Z}} \). Probar que \( a-b | a^n-b^n, \forall{n}\in{\mathbb{N}}  \)

[Fernando Revilla]

    Una forma, verifica que \( a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1}). \)

[Juan Pablo Sancho]

Si lo quieres más largo.
Para \( n=1 \) es cierto \( a-b |a-b \) supongamos cierto que para \( n \geq 1 \) que \( a-b | a^n - b^n  \) luego para \( n+1 \)
\( a^{n+1} - b^{n +1}  = a^n \cdot a -a \cdot b^n + a \cdot b^n - b \cdot b^n = a \cdot (a^n - b^n) + b^n \cdot (a-b) \).