[mg]

Hola querido foro,

Tras un tiempo vuelvo a recurrir a ustedes para buscar la sabiduría que algunos libros no proveen.

Hoy se trata de una demostración en relación a los procesos markovianos. En lo sucesivo $$k_1,...,k_N$$ son variables aleatorias independientes y por ende la función $$r_n(x_n,d_n,k_n)$$ es también una variable aleatoria pues depende de $$k_n$$.  En tal demostración hace lo siguiente:

$$P_i(k_i)$$ es la probabilidad marginal de la variable $$k_i$$ evaluada en $$k_i$$
(1) $$E_{k_1}\left\{{P_1(k_1)\cdot{r_1(x_1,d_1,k_1)(\displaystyle\sum_{k_2,...,k_N}{\prod_{i=2}^N(P_i(k_i))(1+\displaystyle\sum_{n=2}^N{r_n(x_n,d_n,k_n}}}))}\right\}
$$

(2) $$E_{k_1}\left\{{P_1(k_1)\cdot{r_1(x_1,d_1,k_1)+(\displaystyle\sum_{k_2,...,k_N}{\prod_{i=2}^N(P_i(k_i))\displaystyle\sum_{n=2}^N{r_n(x_n,d_n,k_n))}}}}\right\}=E_{k_1}\left\{{P_1(k_1)\cdot{r_1(x_1,d_1,k_1)+E_{k_2,...,k_N}(\displaystyle\sum_{n=2}^N r_n(x_n,d_n,k_n)}}\right\}$$


Mi duda es, para pasar de (1) a (2) en algún momento le queda

$$P_1(k_1)\cdot{r_1(x_1,d_1,k_1)\displaystyle\sum_{k_2,...,k_N}\prod_{i=2}^N(P_i(k_i))}$$

y por algún motivo para que aparezca (2) la única explicación es que

$$\displaystyle\sum_{k_2,...,k_N}\prod_{i=2}^N(P_i(k_i))=1$$

Lo cual no comprendo.

De necesitar más detalles para resolverlo puedo especificar más sobre el teorema y contexto.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

y por algún motivo para que aparezca (2) la única explicación es que

$$\displaystyle\sum_{k_2,...,k_N}\prod_{i=2}^N(P_i(k_i))=1$$

No tengo 100% clara la notación del sumatorio. Entiendo que quiere decir que recorre todos los valores posibles de \( k_2,\ldots,k_N \) que son variables discretas. En ese caso:

$$\displaystyle\sum_{k_2,...,k_N}\prod_{i=2}^N(P_i(k_i))=\displaystyle\prod_{i=2}^N\left(\displaystyle\sum_{k_i}(P_i(k_i)\right)=\displaystyle\prod_{i=2}^N=1$$

Para que se entienda la idea imagina que son dos variables \( k_2,k_3 \) que toman los valores \( 1,2 \) y \( 3,7 \) respectivamente.

Tendríamos:

\( \displaystyle\sum_{k_2,k_3}\prod_{i=2}^3(P_i(k_i))=\displaystyle\sum_{k_2,k_3}p_2(k_2)p_3(k_3)=\\\qquad=p_2(1)p_3(3)+p_2(1)p_3(7)+p_2(2)p_3(3)+p_2(2)p_3(7))=\\\qquad=(p_2(1)+p_2(2))(p_3(3)+p_3(7))=1\cdot 1=1 \)

Saludos.

[mg]

Claro! Es exactamente eso, muchas gracias.