La recurrencia se puede escribir también como \( a_{n+1}:=a_n+(-1)^n \) con \( a_0:=1 \). La sucesión que describe es \( 1,2,1,2,1,2,\ldots \)
Esa recurrencia la intenté resolver como una recurrencia lineal no homogénea, pero llegué a un escollo eligiendo el término n.
Me quedó esto:
(x - 1)(x - 1)
Lo que me arroja una solución múltiple con x = 1
Pero una vez resuelta la ecuación característica no obtengo lo que supuse al principio sobre la sucesión, según sea par o impar el núimero de entrada.
He cometido algún error?
Saludos cordiales.
Tenemos que
\( a_0 = 1 \)
\( a_{n+1} = a_n + (-1)^n \)
\( a_{n+2} = a_n + (-1)^{n+1} + (-1)^n = a_n \)
\( a_1 = 1 + (-1)^0 = 2 \)
Aqui tenemos entonces una recurrencia lineal homogénea de segundo orden, cuya ecuación característica es
\( r^2 = 1\;\Longrightarrow{}\;r = \pm{}1 \)
Entonces la solución es de la forma
\( a_n = A\cdot{}1^n + B\cdot{}(-1)^n = A + B\cdot{}(-1)^n \)
Para \( n = 0\textrm{ y }n = 1 \):
\( \left. \begin{array}{l}{a_0 = 1 = A + B}\\{a_1 = 2 = A - B}\end{array}\right\}\;\Longrightarrow{}\;A = \displaystyle\frac{3}{2},\; B = -\displaystyle \frac{1}{2} \)
\( a_n = \displaystyle\frac{3}{2} - \displaystyle\frac{(-1)^n}{2} \)
\( a_0 = 1, \;a_1 = 2 \)
Es decir,
\( a_n=\begin{cases} 1 & \text{si}&\textrm{ n es par}\\2 & \text{si}&\textrm{ n es impar}\end{cases} \)
Saludos,
