Hola
Esa es mi naïve opinión 
P.D. A el_manco: Yo creo que no es con <, ya que con tu definición podría ser el infinito perfectamente, es el más grande.
Por contra, con la otra definición, buscamos la más grande de las bornas que f(x) sea mayor a ella.
La definición típica de ínfimo de una función es la mayor de sus cotas inferiores, es decir, la cota menos bruta que acota inferiormente los valores de la función.
Por ejemplo para la función:
\( f(x)=\begin{Bmatrix} x^2 & \mbox{ si }& x\neq 0\\-1 & \mbox{si}& x=0\end{matrix} \)
cotas inferiores son \( -100,-90,-80,-2,-1 \),.. por que en todo punto toma valores mayores que esas cotas. De todas ellas la mayor es \( -1 \): ese sería el ínfimo.
Cuando se habla de ínfimo esencial en teoría de la medida, el apellido esencial indica que lo que pase en "unos pocos puntos", en un conjunto de medida cero, no importa.
Entonces se define como cota inferior esencial, a un valor \( b \) que acote inferiormente todos los valores de la función salvo quizá unos pocos, salvo quizá un conjunto de medida cero.
Es decir \( b \) es cota inferior esencial de \( f \) si:
\( \mu\{x|f(x)<b\}=0 \) (el conjunto de puntos en el que la función toma valores más pequeños que \( b \) tiene medida cero; es decir \( b \) acota inferiormente "casi toda la función".
El ínfimo esencial es la mayor de esas cotas inferiores esenciales:
\( inf\,ess\,=sup\{b|\mu\{x|f(x)<b\}=0\} \)
Para la función que puse de ejemplo antes el ínfimo esencial sería \( 0 \), porque lo que pasa en \( x=0 \) (que es un conjunto de medida cero) no influye.
Hola el_manco. Gracias por tu respuesta. Bueno, inclusive me parece que en tu definición anterior no debe aparece el valor absoluto. En fín...
Si, efectivamente, para el ínfimo esencial incluso sobra el valor absoluto.
El problema original consistía en demostrar que en \( L^\infty(X,\mu) \), si \( \mu \) es finita, entonces \( \|f\|_\infty=\sup\{b\mbox{ }|\mbox{ }\mu(\{x\in X\mbox{ }|\mbox{ }|f(x)|\ge b\})>0\} \).
El problema de esta persona, y ahora también mío, es demostrar que tal supremo siempre existe (lo cual es justamente la intención de este post).
Pero es que por definición si \( f\in L^\infty(X,\mu) \) está esencialmente acotada, es decir, existe \( c \) tal que:
\( \mu(\{x\in X||f(x)|>c\}=0 \)
Por tanto el conjunto:
\( A=\{b\mbox{ }|\mbox{ }\mu(\{x\in X\mbox{ }|\mbox{ }|f(x)|\ge b\})>0\} \)
está acotado superiormente por \( c \), por que si \( b>c \) entonces \( b\not\in A \) ya que:
\( \{x\in X||f(x)|\geq b\}\subset \{x\in X|f(x)|\geq c\} \)
y por tanto:
\( 0\leq \mu\{x\in X||f(x)|\geq b\}\leq \mu\{x\in X|f(x)|\geq c\}=0 \)
Saludos.
